कैलकुलस उदाहरण

$\ln (x^{2} + y^{2})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + y^{2}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0)$

चरण 2.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x)$

चरण 2.4.2

$2$ और $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} x$

चरण 2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$