कैलकुलस उदाहरण

$y = x {(x - 4)}^{3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ है.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 4$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 4$ से बदलें.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.3.4.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.3.5

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

चरण 1.3.6

${(x - 4)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ में से ${(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$x (3 {(x - 4)}^{2})$ में से ${(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

चरण 1.4.1.2

${(x - 4)}^{3}$ में से ${(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

चरण 1.4.1.3

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ में से ${(x - 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

चरण 1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

चरण 1.4.2.2

$3 x$ और $x$ जोड़ें.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

चरण 1.4.3

${(x - 4)}^{2}$ को $(x - 4) (x - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

चरण 1.4.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 4) (x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

चरण 1.4.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

चरण 1.4.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 1.4.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 1.4.5.1.2

$- 4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

चरण 1.4.5.1.3

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

चरण 1.4.5.2

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

चरण 1.4.6

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ का प्रसार करें.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.2.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.3

$- 4$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.5.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.6

$- 8$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.7

$- 4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.8

$4$ को $16$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

चरण 1.4.7.9

$16$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

चरण 1.4.8

$- 4 x^{2}$ में से $32 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

चरण 1.4.9

$32 x$ और $64 x$ जोड़ें.

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 36$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 36 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.3.3

$2$ को $- 36$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [96 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $96$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $96 x$ का व्युत्पन्न $96 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.4.2

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.4.3

$96$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

चरण 2.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 64$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 64$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

चरण 2.5.2

$12 x^{2} - 72 x + 96$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $12 x^{2} - 72 x + 96$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ है.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x^{2}$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

चरण 3.2.2

$f''' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

चरण 3.2.3

$2$ को $12$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 72$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 72 x$ का व्युत्पन्न $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f''' (x) = 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (96)$

चरण 3.3.2

$f''' (x) = 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (96)$

चरण 3.3.3

$- 72$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (96)$

चरण 3.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $96$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $96$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f''' (x) = 24 x - 72 + 0$

चरण 3.4.2

$24 x - 72$ और $0$ जोड़ें.

$f''' (x) = 24 x - 72$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $24 x - 72$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ है.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [24 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूंकि $24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $24 x$ का व्युत्पन्न $24 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

चरण 4.2.2

$f^{4} (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

चरण 4.2.3

$24$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

चरण 4.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 72$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 72$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f^{4} (x) = 24 + 0$

चरण 4.3.2

$24$ और $0$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 24$