कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 4 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 4 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $4 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $4 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.3

$16$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$16$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 16 \sin^{2} (t)$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

$16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ को ${(4 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4 \cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

चरण 2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {(4 \sin (t))}^{2} d t$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$4 \sin (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int {(4 (\sin (t)))}^{2} d t$

चरण 2.2.2.2

उत्पाद नियम को $4 (\sin (t))$ पर लागू करें.

$\int 4^{2} \sin^{2} (t) d t$

चरण 2.2.2.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 16 \sin^{2} (t) d t$

चरण 3

चूँकि $16$ बटे $t$ अचर है, $16$ को समाकलन से हटा दें.

$16 \int \sin^{2} (t) d t$

चरण 4

$\sin^{2} (t)$ को $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$16 \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$16 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ और $16$ को मिलाएं.

$\frac{16}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{8}{1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$8 \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$8 (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$8 (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$8 (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

चरण 10

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 10.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$8 (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 11

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$8 (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$8 (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

चरण 13

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$8 (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 14

सरल करें.

$8 (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{x}{4})$ से बदलें.

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 15.2

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 15.3

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{x}{4})$ से बदलें.

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

चरण 16.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

चरण 16.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

चरण 16.3.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 (4) \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

चरण 16.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 \cdot 4 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

चरण 16.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 4 (- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

चरण 16.4

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$