कैलकुलस उदाहरण

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\frac{\cos (t)}{2}$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (t)$ को मिलाएं.

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sin (t)}{2}$ पर लागू करें.

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.4.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.5

$- 1 \sin^{2} (t)$ को $- \sin^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\cos (t)$ और $\frac{\cos (t)}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

चरण 2.2.3

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

चरण 2.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

चरण 2.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

चरण 4

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

चरण 9

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 9.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 10

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 13

सरल करें.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (2 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 14.2

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 14.3

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (2 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 \arcsin (2 x))$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

चरण 15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

चरण 15.3

$\frac{1}{4}$ और $\arcsin (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

चरण 15.4

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

चरण 15.4.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$