कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{5} \cos (x^{3}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3}$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u \cos (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{3}$ और $u$ को मिलाएं.

$\int \frac{u}{3} \cos (u) d u$

चरण 2.2

$\frac{u}{3}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$\int \frac{u \cos (u)}{3} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int u \cos (u) d u$

चरण 4

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u$ और $dv = \cos (u)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

चरण 5

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

चरण 6

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ को $\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3}$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}) + \cos (x^{3})) + C$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3})) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

चरण 8.2

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}))$ गुणा करें.

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चरण 8.2.1

$x^{3}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{3}}{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

चरण 8.2.2

$\frac{x^{3}}{3}$ और $\sin (x^{3})$ को मिलाएं.

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

चरण 8.3

$\frac{1}{3}$ और $\cos (x^{3})$ को मिलाएं.

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{\cos (x^{3})}{3} + C$

चरण 9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} x^{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$