कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

$x$ और $\frac{1}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 3.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = x^{2} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 3.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = x^{2} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 3.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ पर और $0$ पर $\arctan (x) x$ का मान ज्ञात करें.

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

चरण 7.2

$2$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\arctan (1)$ को $1$ से गुणा करें.

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 7.3.2

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 7.3.3

$0$ को $\arctan (0)$ से गुणा करें.

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 7.3.4

$\arctan (1)$ और $0$ जोड़ें.

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

चरण 8.2

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

चरण 9.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

चरण 9.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

चरण 10

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

दशमलव रूप:

$0.43882457 \dots$