कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{2 x - 1}$ को ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 1.3

घातांक को ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

चरण 1.4

सरल करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

चरण 1.5.2

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

चरण 1.6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.11.2

$\frac{1}{2}$ और ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.11.4

$\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

चरण 1.12

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.13

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.14

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.15

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

चरण 1.16

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

चरण 1.17

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

चरण 1.17.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.17.3

$- 2$ और $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.17.4

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.18

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.18.1

$2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

चरण 1.18.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.18.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.19

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.20

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.21

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.22

घातांक जोड़कर ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.22.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.22.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.22.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.22.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.23

${(2 x - 1)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.24

$2 x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

चरण 1.25

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ को फिर से लिखें.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

चरण 1.26

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{2 x - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

चरण 1.27

घातांक जोड़कर ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $2 x - 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.27.1

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $2 x - 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.27.1.1

$2 x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

चरण 1.27.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

चरण 1.27.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

चरण 1.27.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

चरण 1.27.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 3

मूल फलन $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ को $x = 1$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

चरण 3.2.1.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

चरण 3.2.1.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$f (1) = \frac{1}{1}$

चरण 3.2.2

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (1) = 1$

चरण 3.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 4

फलन $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखा $y = 1$ है.

$y = 1$

चरण 5