कैलकुलस उदाहरण

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$81 x = x^{5}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $81 x = x^{5}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{5}$ घटाएं.

$81 x - x^{5} = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$81 x - x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

$81 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

चरण 1.2.2.1.2

$- x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

चरण 1.2.2.1.3

$x \cdot 81 + x (- x^{4})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (81 - x^{4}) = 0$

चरण 1.2.2.2

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

चरण 1.2.2.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

चरण 1.2.2.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 9$ और $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

चरण 1.2.2.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

चरण 1.2.2.5.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1.2.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 3$ और $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

चरण 1.2.2.5.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

चरण 1.2.2.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

चरण 1.2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 1.2.5

$9 + x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$9 + x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$9 + x^{2} = 0$

चरण 1.2.5.2

$x$ के लिए $9 + x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$x^{2} = - 9$

चरण 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

चरण 1.2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1

$- 9$ को $- 1 (9)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

चरण 1.2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

चरण 1.2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

चरण 1.2.5.2.3.4

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

चरण 1.2.5.2.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 3$

चरण 1.2.5.2.3.6

$3$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 3 i$

चरण 1.2.5.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 3 i$

चरण 1.2.5.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 3 i$

चरण 1.2.5.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 3 i, - 3 i$

चरण 1.2.6

$3 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$3 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 + x = 0$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 1.2.7

$3 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

$3 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 - x = 0$

चरण 1.2.7.2

$x$ के लिए $3 - x = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$- x = - 3$

चरण 1.2.7.2.2

$- x = - 3$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.2.1

$- x = - 3$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

चरण 1.2.7.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

चरण 1.2.7.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 3}{- 1}$

चरण 1.2.7.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.2.3.1

$- 3$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 3$

चरण 1.2.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(0)}^{5}$

चरण 1.3.2

$0$ को $x$ के लिए $y = {(0)}^{5}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{5}$

चरण 1.3.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 3 i$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$3 i$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(3 i)}^{5}$

चरण 1.4.2

${(3 i)}^{5}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

उत्पाद नियम को $3 i$ पर लागू करें.

$y = 3^{5} i^{5}$

चरण 1.4.2.2

$3$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 243 i^{5}$

चरण 1.4.2.3

$i^{4}$ का गुणनखंड करें.

$y = 243 (i^{4} i)$

चरण 1.4.2.4

$i^{4}$ को $1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.4.1

$i^{4}$ को ${(i^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

चरण 1.4.2.4.2

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

चरण 1.4.2.4.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 243 (1 i)$

चरण 1.4.2.5

$i$ को $1$ से गुणा करें.

$y = 243 i$

चरण 1.5

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = - 3 i$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$- 3 i$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(- 3 i)}^{5}$

चरण 1.5.2

${(- 3 i)}^{5}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

उत्पाद नियम को $- 3 i$ पर लागू करें.

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

चरण 1.5.2.2

$- 3$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = - 243 i^{5}$

चरण 1.5.2.3

$i^{4}$ का गुणनखंड करें.

$y = - 243 (i^{4} i)$

चरण 1.5.2.4

$i^{4}$ को $1$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.4.1

$i^{4}$ को ${(i^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

चरण 1.5.2.4.2

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

चरण 1.5.2.4.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = - 243 (1 i)$

चरण 1.5.2.5

$i$ को $1$ से गुणा करें.

$y = - 243 i$

चरण 1.6

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = - 3$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$- 3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(- 3)}^{5}$

चरण 1.6.2

$- 3$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = - 243$

चरण 1.7

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 3$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(3)}^{5}$

चरण 1.7.2

$3$ को $x$ के लिए $y = {(3)}^{5}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 3^{5}$

चरण 1.7.2.2

$3$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 243$

चरण 1.8

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

चरण 3

$0$ और $3$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

चरण 3.2

$- 1$ को $x^{5}$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

चरण 3.4

चूँकि $81$ बटे $x$ अचर है, $81$ को समाकलन से हटा दें.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

चरण 3.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

चरण 3.6

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

चरण 3.7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

चरण 3.8

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5}$ का समाकलन $\frac{1}{6} x^{6}$ है.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

चरण 3.9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$\frac{1}{6}$ और $x^{6}$ को मिलाएं.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

चरण 3.9.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1

$3$ पर और $0$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

चरण 3.9.2.2

$3$ पर और $0$ पर $\frac{x^{6}}{6}$ का मान ज्ञात करें.

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.3

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.3.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.3.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.5

$\frac{9}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.6

$81$ और $\frac{9}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.7

$81$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.8

$3$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.9

$729$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.9.1

$729$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.9.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

चरण 3.9.2.3.10

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

चरण 3.9.2.3.11

$0$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.11.1

$0$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

चरण 3.9.2.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.11.2.1

$6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

चरण 3.9.2.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

चरण 3.9.2.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

चरण 3.9.2.3.11.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

चरण 3.9.2.3.12

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

चरण 3.9.2.3.13

$\frac{243}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

चरण 3.9.2.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{729 - 243}{2}$

चरण 3.9.2.3.15

$729$ में से $243$ घटाएं.

$\frac{486}{2}$

चरण 3.9.2.3.16

$486$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.16.1

$486$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

चरण 3.9.2.3.16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.16.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

चरण 3.9.2.3.16.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

चरण 3.9.2.3.16.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{243}{1}$

चरण 3.9.2.3.16.2.4

$243$ को $1$ से विभाजित करें.

$243$

चरण 4