कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .फिर $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . $\frac{d u_{3}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$e^{2 x} + e^{- 2 x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.3.5

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 2 x$ के रूप में सेट करें.

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.1.4.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.1.4.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.1.4.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.4.3

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

चरण 1.1.4.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

चरण 1.1.4.5

$- 2$ को $e^{- 2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

चरण 1.3.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

चरण 1.3.1.3

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

चरण 1.3.1.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$u_{lower} = 1 + 1$

चरण 1.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 2$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

चरण 1.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

चरण 1.5.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

चरण 1.5.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

चरण 1.7

$u_{3}$ , $d u_{3}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{u_{3}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

चरण 2.2

$2$ को $u_{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{3}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

चरण 4

$u_{3}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{3}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{3} |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

चरण 5

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ पर और $2$ पर $\ln (| u_{3} |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ लगभग $7.52439138$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

चरण 7.1.2

$e^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

चरण 7.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

चरण 7.1.4

घातांक जोड़कर $e^{2}$ को $e^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 7.1.4.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

चरण 7.1.4.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

चरण 7.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

चरण 7.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

चरण 7.4

$\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

चरण 7.5

$2$ को $e^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

दशमलव रूप:

$0.66250137 \dots$

चरण 9