कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{2} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 1.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{2} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 1.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{u^{3}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

चरण 2.2

$2$ को $u^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$u^{3}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

चरण 4.2

घातांक को ${(u^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

चरण 4.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 3}$ का समाकलन $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ है.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2$ पर और $1$ पर $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

चरण 6.2.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

चरण 6.2.3

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

चरण 6.2.4

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

चरण 6.2.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

चरण 6.2.6

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

चरण 6.2.7

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

चरण 6.2.8

प्रत्येक व्यंजक को $8$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

चरण 6.2.8.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

चरण 6.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

चरण 6.2.10

$- 1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

चरण 6.2.11

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

चरण 6.2.12

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{3}{16}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3}{16}$

दशमलव रूप:

$0.1875$

चरण 8