कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin (\ln (x)) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\int e^{u} \sin (u) d u$

चरण 2

$e^{u}$ और $\sin (u)$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \sin (u) e^{u} d u$

चरण 3

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = \sin (u)$ और $dv = e^{u}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

चरण 4

$e^{u}$ और $\cos (u)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

चरण 5

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = \cos (u)$ और $dv = e^{u}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

चरण 7

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

चरण 7.2

$\int e^{u} (\sin (u)) d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

चरण 8

$\int e^{u} \sin (u) d u$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

चरण 9

$\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ को $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $\ln (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

चरण 11.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

चरण 11.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

चरण 11.4

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$\sin (\ln (x))$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

चरण 11.4.2

$\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

चरण 11.5

$\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

$\frac{1}{2}$ और $\cos (\ln (x))$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

चरण 11.5.2

$x$ और $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

चरण 11.6

गुणनखंडों को $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

चरण 12

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$