कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

चरण 1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

चरण 1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

चरण 1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

चरण 1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 2.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

चरण 2.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

चरण 2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 2.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{2}$ है.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

चरण 2.7.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

चरण 2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

चरण 2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

चरण 2.10

$\frac{1}{2}$ को $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

चरण 2.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

चरण 2.11.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{3}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- \frac{1}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ है.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 3.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ को ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

चरण 3.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

चरण 3.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

चरण 3.2.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

चरण 3.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{3}{2}$ है.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

चरण 3.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 3.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 3.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

चरण 3.7.2

$- 3$ में से $2$ घटाएं.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

चरण 3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

चरण 3.9

$x^{- \frac{5}{2}}$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

चरण 3.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

चरण 3.10.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

चरण 3.11

$\frac{1}{4}$ को $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ से गुणा करें.

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{4 \cdot 2}$

चरण 3.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{8}$

चरण 3.12.2

$3$ को $x^{- \frac{5}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f''' (x) = \frac{3 \cdot x^{- \frac{5}{2}}}{8}$

चरण 3.12.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{5}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f''' (x) = \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $\frac{3}{8}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ है.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}})$

चरण 4.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ को ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

चरण 4.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

चरण 4.2.2.2

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

चरण 4.2.2.2.2

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 5}{2}})$

चरण 4.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{5}{2}})$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{5}{2}$ है.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

चरण 4.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 4.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 4.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

चरण 4.7.2

$- 5$ में से $2$ घटाएं.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

चरण 4.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

चरण 4.9

$x^{- \frac{7}{2}}$ और $\frac{5}{2}$ को मिलाएं.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

चरण 4.10

$\frac{3}{8}$ को $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - \frac{3 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{8 \cdot 2}$

चरण 4.11

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{8 \cdot 2}$

चरण 4.11.2

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{16}$

चरण 4.11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{7}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

चरण 5

$x$ के संबंध में $f (x)$ का चौथा व्युत्पन्न $- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$ है.

$- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$