कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x$ है.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 1.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.2.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

चरण 2.4.4

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

चरण 2.4.4.2

$- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.2.1

$- x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

चरण 2.4.4.2.2

$- 2 (1 - \ln (x)) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

चरण 2.4.4.2.3

$x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

चरण 2.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

चरण 2.6.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

चरण 2.6.2.1.2

$- 2 (- \ln (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.2.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

चरण 2.6.2.1.2.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x)$ को सरल करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 2.6.2.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 2.6.3

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 2.6.4

$\ln (x^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

चरण 2.6.5

$- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

चरण 2.6.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.3

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ है.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 - \ln (x) = 0$

चरण 5.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- \ln (x) = - 1$

चरण 5.3.2

$- \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = 1$

चरण 5.3.3

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

चरण 5.3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{1} = x$

चरण 5.3.5

समीकरण को $x = e^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 6.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 6.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 6.3

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 6.4

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = e$

चरण 8

$x = e$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

चरण 9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$2$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

चरण 9.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

चरण 9.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

चरण 9.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

चरण 9.5

$3$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{1}{e^{3}}$

चरण 10

$x = e$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = e$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11

$x = e$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $e$ से बदलें.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (e) = \frac{1}{e}$

चरण 11.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{1}{e}$ है.

$y = \frac{1}{e}$

चरण 12

ये $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(e, \frac{1}{e})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 13