कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x \ln (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \ln (x) \cdot 1$

चरण 1.3.4

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + \ln (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{1}{x}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$1 + \ln (x) = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3.3

$1 + \ln (x) \cdot 1$

चरण 4.1.3.4

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $1 + \ln (x)$ है.

$1 + \ln (x)$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $1 + \ln (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 + \ln (x) = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\ln (x) = - 1$

चरण 5.3

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

चरण 5.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = - 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- 1} = x$

चरण 5.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण को $x = e^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{- 1}$

चरण 5.5.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{1}{e}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 6.2

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \frac{1}{e}$

चरण 8

$x = \frac{1}{e}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$1 e$

चरण 9.2

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$e$

चरण 10

$x = \frac{1}{e}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{1}{e}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = \frac{1}{e}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{e}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$\frac{1}{e}$ को $1 e^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

चरण 11.2.2

$\ln (1 e^{- 1})$ को $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

चरण 11.2.3

$- 1$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

चरण 11.2.4

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

चरण 11.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

चरण 11.2.6

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

चरण 11.2.7

$0$ में से $1$ घटाएं.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

चरण 11.2.8

$\frac{1}{e}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

चरण 11.2.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

चरण 11.2.10

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{e}$ है.

$y = - \frac{1}{e}$

चरण 12

ये $f (x) = x \ln (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13