कैलकुलस उदाहरण

$\int x \sin^{3} (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin^{3} (x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - \int - \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\int - \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \int \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का इंटीग्रल $\sin (x)$ है.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{3} (x) d x)$

चरण 6

$\cos^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x)$

चरण 7

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cos^{2} (x)$ को $1 - \sin^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x)$

चरण 8

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 8.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int 1 - u^{2} d u)$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (\int d u + \int - u^{2} d u))$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C + \int - u^{2} d u))$

चरण 11

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - \int u^{2} d u))$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)))$

चरण 13

सरल करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (u - \frac{1}{3} u^{3})) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x))) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$\sin^{3} (x)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

चरण 15.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} \sin (x) + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

चरण 15.1.3

$\frac{1}{3}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

चरण 15.1.4

$\frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.4.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{\sin^{3} (x)}{3}$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{3 \cdot 3}) + C$

चरण 15.1.4.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.2

$- \sin (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.3

$- \sin (x)$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1.1

$- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1.1.1

$- \sin (x) \cdot 3$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.5.1.1.2

$1$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.5.1.1.3

$\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.5.1.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.5.1.3

$- 3$ और $1$ जोड़ें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) \cdot - 2}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.5.2

$- 2$ को $\sin (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- 2 \cdot \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \frac{2 \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

चरण 15.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - - \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

चरण 15.7

$- - \frac{2 \sin (x)}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + 1 \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

चरण 15.7.2

$\frac{2 \sin (x)}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

चरण 15.8

$- - \frac{\sin^{3} (x)}{9}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.8.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + 1 \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

चरण 15.8.2

$\frac{\sin^{3} (x)}{9}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2}{3} \sin (x) + \frac{1}{9} \sin^{3} (x) + C$