कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12 x$ का व्युत्पन्न $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

चरण 1.1.4.3

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{2} + 6 x - 12$ है.

$6 x^{2} + 6 x - 12$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$6 x^{2} + 6 x - 12$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$6 x^{2}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

चरण 2.2.1.2

$6 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

चरण 2.2.1.3

$- 12$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

चरण 2.2.1.4

$6 (x^{2}) + 6 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

चरण 2.2.1.5

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 2$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 1, 2$

चरण 2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

चरण 2.4

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.5

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, - 2$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $1, - 2$ हैं.

$1, - 2$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

चरण 5.2.1.2

$6$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

चरण 5.2.1.3

$6$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

चरण 5.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$54$ में से $18$ घटाएं.

$f' (- 3) = 36 - 12$

चरण 5.2.2.2

$36$ में से $12$ घटाएं.

$f' (- 3) = 24$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $24$ है.

$24$

चरण 5.3

$x = - 3$ पर व्युत्पन्न $24$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 2)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 2, 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{1}{2}$ से बदलें.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.6.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.6.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.7

$3$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.8.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.8.2

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

चरण 6.2.1.8.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

चरण 6.2.1.8.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

चरण 6.2.1.9

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

चरण 6.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 3$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

चरण 6.2.2.2

$\frac{- 3}{1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

चरण 6.2.2.3

$\frac{- 3}{1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

चरण 6.2.2.4

$- 12$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

चरण 6.2.2.5

$\frac{- 12}{1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 6.2.2.6

$\frac{- 12}{1}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

चरण 6.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

चरण 6.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

चरण 6.2.4.2

$- 12$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

चरण 6.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$3$ में से $6$ घटाएं.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

चरण 6.2.5.2

$- 3$ में से $24$ घटाएं.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

चरण 6.2.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

चरण 6.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{27}{2}$ है.

$- \frac{27}{2}$

चरण 6.3

$x = - \frac{1}{2}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{27}{2}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 2, 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- 2, 1)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

चरण 7.2.1.2

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

चरण 7.2.1.3

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$24$ और $12$ जोड़ें.

$f' (2) = 36 - 12$

चरण 7.2.2.2

$36$ में से $12$ घटाएं.

$f' (2) = 24$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $24$ है.

$24$

चरण 7.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $24$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(1, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 2), (1, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- 2, 1)$

चरण 9