कैलकुलस उदाहरण

${(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 {(x + y)}^{2} (1 + y')$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 {(x + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + y)}^{2} y'$

चरण 2.4.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.1.2

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणनखंडों को $3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

चरण 5.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y^{2} y'$ घटाएं.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

${(x + y)}^{2}$ को $(x + y) (x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 ((x + y) (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + y) (x + y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.3.1.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.3.2

$x y$ और $y x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.3.2.1

$y$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.3.2.2

$x y$ और $x y$ जोड़ें.

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.6

${(x + y)}^{2}$ को $(x + y) (x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' ((x + y) (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.7

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + y) (x + y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x (x + y) + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.8

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.8.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.8.1.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.8.2

$x y$ और $y x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.8.2.1

$y$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.8.2.2

$x y$ और $x y$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 3 y' (2 x y) + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.2.10

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.3

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y'$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

गुणनखंडों को $3 y' y^{2}$ और $- 3 y^{2} y'$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} y' - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.2.3.2

$3 y^{2} y'$ में से $3 y^{2} y'$ घटाएं.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 0 = 3 x^{2}$

चरण 5.2.3.3

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2}$

चरण 5.3

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2}$

चरण 5.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x y$ घटाएं.

$3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y$

चरण 5.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y^{2}$ घटाएं.

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y - 3 y^{2}$

चरण 5.3.4

$3 x^{2}$ में से $3 x^{2}$ घटाएं.

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 0 - 6 x y - 3 y^{2}$

चरण 5.3.5

$0$ में से $6 x y$ घटाएं.

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

चरण 5.4

$3 y' x^{2} + 6 y' x y$ में से $3 y' x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3 y' x^{2}$ में से $3 y' x$ का गुणनखंड करें.

$3 y' x \cdot x + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

चरण 5.4.2

$6 y' x y$ में से $3 y' x$ का गुणनखंड करें.

$3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

चरण 5.4.3

$3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y)$ में से $3 y' x$ का गुणनखंड करें.

$3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

चरण 5.5

$3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 x (x + 2 y)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 x (x + 2 y)$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.2.3

$x + 2 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1

$- 6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1.1

$- 6 x y$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1.2.1

$3 x (x + 2 y)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.4

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.4.1

$- 3 y^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.4.2.1

$3 x (x + 2 y)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

चरण 5.5.3.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

चरण 5.5.3.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.1.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.2

$- \frac{2 y}{x + 2 y}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $(x + 2 y) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.3.1

$\frac{2 y}{x + 2 y}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.3.2

$(x + 2 y) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.5

$- 2 y x - y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.5.1

$- 2 y x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.5.2

$- y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.5.3

$y (- 2 x) + y (- y)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.6

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.7

$- y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.8

$- (2 x) - (y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.9.1

$- (2 x + y)$ को $- 1 (2 x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

चरण 5.5.3.9.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$