कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

चरण 1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 1.5.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

चरण 1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\sin (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

चरण 5

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

चरण 6.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 7.2

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sqrt{2}}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 7.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 7.3

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.14644660 \dots$