कैलकुलस उदाहरण

$\int \tan^{5} (x) d x$

चरण 1

$\tan^{4} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

चरण 2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

चरण 2.2

${\tan (x)}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

चरण 3

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (x)$ को $- 1 + \sec^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

चरण 4

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

चरण 5

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

चरण 5.2.2

$\tan (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

चरण 5.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

चरण 5.2.4

घातांक को ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

चरण 5.2.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

चरण 7

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (x) |)$ है.

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

चरण 8

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

चरण 9

मान लीजिए $u_{1} = \sec (x)$ .फिर $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , तो $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u_{1} = \sec (x)$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\sec (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

चरण 9.1.2

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$\sec (x) \tan (x)$

चरण 9.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $u_{1}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ है.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

चरण 11

मान लीजिए $u_{2} = \sec (x)$ .फिर $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , तो $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u_{2} = \sec (x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$\sec (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

चरण 11.1.2

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$\sec (x) \tan (x)$

चरण 11.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ है.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{2}$ और ${u_{1}}^{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

चरण 13.2

सरल करें.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sec (x)$ से बदलें.

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

चरण 14.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sec (x)$ से बदलें.

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$