कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

चरण 1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

चरण 1.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

चरण 1.2.2

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

चरण 2

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{\frac{x}{2}}$ को $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

चरण 2.2

$\frac{x}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

चरण 3

$\frac{x}{2}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x \ln (x)}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

चरण 4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x \ln (x)}{2}$ से बदलें.

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

चरण 5

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x \ln (x)}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ है.

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

चरण 5.2

$\frac{1}{2}$ और $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

चरण 6

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 8.4

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

चरण 9.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

चरण 9.2.2

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$