कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2.3

$4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2.4

$\frac{4}{2}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2.5

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

$4 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{3} + 6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.2.2.2

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

चरण 1.2.3.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{2} + 12 x$ है.

$6 x^{2} + 12 x$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{2} + 12 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x^{2} + 12 x = 0$

चरण 2.2

$6 x^{2} + 12 x$ में से $6 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$6 x^{2}$ में से $6 x$ का गुणनखंड करें.

$6 x (x) + 12 x = 0$

चरण 2.2.2

$12 x$ में से $6 x$ का गुणनखंड करें.

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

चरण 2.2.3

$6 x (x) + 6 x (2)$ में से $6 x$ का गुणनखंड करें.

$6 x (x + 2) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

चरण 2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.5

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $6 x (x + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 2$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

चरण 3.1.2.1.2

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

चरण 3.1.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

चरण 3.1.2.1.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0$

चरण 3.1.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 3.2

$0$ को $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 0)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 0)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 2$ को $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

$- 2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

चरण 3.3.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.2.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

चरण 3.3.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

चरण 3.3.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

चरण 3.3.2.1.3

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

चरण 3.3.2.1.4

$2$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f (- 2) = 8 - 16$

चरण 3.3.2.2

$8$ में से $16$ घटाएं.

$f (- 2) = - 8$

चरण 3.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 8$ है.

$- 8$

चरण 3.4

$- 2$ को $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 2, - 8)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 2, - 8)$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.1$ से बदलें.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 2.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

चरण 5.2.1.2

$6$ को $4.41$ से गुणा करें.

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

चरण 5.2.1.3

$12$ को $- 2.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

चरण 5.2.2

$26.46$ में से $25.2$ घटाएं.

$f'' (- 2.1) = 1.26$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $1.26$ है.

$1.26$

चरण 5.3

$- 2.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.26$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 2, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

चरण 6.2.1.2

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

चरण 6.2.1.3

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = 6 - 12$

चरण 6.2.2

$6$ में से $12$ घटाएं.

$f'' (- 1) = - 6$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 6$ है.

$- 6$

चरण 6.3

$- 1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 6$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- 2, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- 2, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.1$ से बदलें.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

चरण 7.2.1.2

$6$ को $0.01$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

चरण 7.2.1.3

$12$ को $0.1$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

चरण 7.2.2

$0.06$ और $1.2$ जोड़ें.

$f'' (0.1) = 1.26$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $1.26$ है.

$1.26$

चरण 7.3

$0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.26$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

चरण 9