कैलकुलस उदाहरण

$\int \arctan (4 t) d t$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (4 t)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$t$ और $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

चरण 2.2

$4$ को $t$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

चरण 3

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

चरण 4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

चरण 5

मान लीजिए $u = 16 t^{2} + 1$ .फिर $d u = 32 t d t$ , तो $\frac{1}{32} d u = t d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 16 t^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$16 t^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $16 t^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $16$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $16 t^{2}$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 5.1.3.3

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$32 t + 0$

चरण 5.1.4.2

$32 t$ और $0$ जोड़ें.

$32 t$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{32}$ से गुणा करें.

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

चरण 6.2

$32$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{32}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{32}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{32}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2

$- 4$ और $32$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$32$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

चरण 10

सरल करें.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $16 t^{2} + 1$ से बदलें.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$