कैलकुलस उदाहरण

$\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + e^{x}$ .फिर $d u = e^{x} d x$ , तो $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 + e^{x}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$1 + e^{x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + e^{x}$

चरण 1.1.4

$0$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$e^{x}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 4

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{x}$ से बदलें.

$\frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$