कैलकुलस उदाहरण

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

चरण 1

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{1}{t}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

चरण 1.1.2

$- \frac{1}{t^{2} + t}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{t}{t}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

चरण 1.1.3

प्रत्येक व्यंजक को $t (t^{2} + t)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$\frac{1}{t}$ को $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

चरण 1.1.3.2

$\frac{1}{t^{2} + t}$ को $\frac{t}{t}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{(t^{2} + t) t}$

चरण 1.1.3.3

$(t^{2} + t) t$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{t (t^{2} + t)}$

चरण 1.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t - t}{t (t^{2} + t)}$

चरण 1.1.5

$t$ में से $t$ घटाएं.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + 0}{t (t^{2} + t)}$

चरण 1.1.6

$t^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t (t^{2} + t)}$

चरण 1.2

$t^{2}$ और $t$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

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चरण 1.2.1

$t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

चरण 1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

चरण 1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t}$

चरण 2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

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चरण 2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

चरण 2.1.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

चरण 2.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

जैसे-जैसे $t$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t}$

चरण 2.1.3.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $t^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t}$

चरण 2.1.3.3

$t$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0^{2} + lim_{t \to 0} t}$

चरण 2.1.3.3.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

चरण 2.1.3.4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.4.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0}{0 + 0}$

चरण 2.1.3.4.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.3.4.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.3.5

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

चरण 2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

चरण 2.3.3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2} + t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]}$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [t]}$

चरण 2.3.5

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + 1}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 3.1

जैसे ही $t$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

चरण 3.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

चरण 3.3

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + lim_{t \to 0} 1}$

चरण 3.4

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1}$

चरण 3.5

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + 1}$

चरण 4

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{0 + 1}$

चरण 5.1.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{1}$

चरण 5.2

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$1$