कैलकुलस उदाहरण

$\int_{2}^{3} x \sqrt{x - 2} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sqrt{x - 2}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{2}{3}$ और ${(x - 2)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$x \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{2}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{2}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{2}^{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x)$

चरण 4

मान लीजिए $u = x - 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = x - 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = x - 2$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 - 2$

चरण 4.3

$2$ में से $2$ घटाएं.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = x - 2$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 - 2$

चरण 4.5

$3$ में से $2$ घटाएं.

$u_{upper} = 1$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3$ पर और $2$ पर $\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{3 (2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

चरण 6.2

$1$ पर और $0$ पर $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{3 (2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{3 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{3 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.5

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.5.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.6

$2$ में से $2$ घटाएं.

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.7

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 - \frac{2 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.8

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.10

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.11

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$2 - \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.12

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$2 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.13

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.13.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$2 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.13.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$2 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.13.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.14

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.15

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.16

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.17

$\frac{2}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.18

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.19

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

चरण 6.3.20

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.20.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

चरण 6.3.20.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

चरण 6.3.21

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

चरण 6.3.22

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

चरण 6.3.23

$0$ को $\frac{2}{5}$ से गुणा करें.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

चरण 6.3.24

$\frac{2}{5}$ और $0$ जोड़ें.

$2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

चरण 6.3.25

$\frac{2}{5}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$2 - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

चरण 6.3.26

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 - \frac{4}{5 \cdot 3}$

चरण 6.3.27

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$2 - \frac{4}{15}$

चरण 6.3.28

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{15}{15}$ से गुणा करें.

$2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{4}{15}$

चरण 6.3.29

$2$ और $\frac{15}{15}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 15}{15} - \frac{4}{15}$

चरण 6.3.30

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 \cdot 15 - 4}{15}$

चरण 6.3.31

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.31.1

$2$ को $15$ से गुणा करें.

$\frac{30 - 4}{15}$

चरण 6.3.31.2

$30$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{26}{15}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{26}{15}$

दशमलव रूप:

$1.7\overline{3}$

मिश्रित संख्या रूप:

$1 \frac{11}{15}$

चरण 8