कैलकुलस उदाहरण

\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x$

चरण 1

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां

u = x^{2} + 6

$u = x^{2} + 6$ और

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

चरण 2

2

$2$ को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

चरण 3

चूँकि

- 2

$- 2$ बटे

x

$x$ अचर है,

- 2

$- 2$ को समाकलन से हटा दें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

चरण 4

- 2

$- 2$ को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

चरण 5

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां

u = x

$u = x$ और

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

चरण 6

चूँकि

- 1

$- 1$ बटे

x

$x$ अचर है,

- 1

$- 1$ को समाकलन से हटा दें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

- 1

$- 1$ को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

चरण 7.2

\int_{0}^{1} e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ को

1

$1$ से गुणा करें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

चरण 8

मान लीजिए

u = - x

$u = - x$ .फिर

d u = - d x

$d u = - d x$ , तो

- d u = d x

$- d u = d x$ .

u

$u$ और

d

$d$

u

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें

u = - x

$u = - x$ .

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

- x

$- x$ को अवकलित करें.

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 8.1.2

चूंकि

- 1

$- 1$ ,

x

$x$ के संबंध में स्थिर है,

x

$x$ के संबंध में

- x

$- x$ का व्युत्पन्न

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ है.

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

चरण 8.1.4

- 1

$- 1$ को

1

$1$ से गुणा करें.

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

चरण 8.2

x

$x$ के लिए

u = - x

$u = - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

u_{lower} = - 0

$u_{lower} = - 0$

चरण 8.3

- 1

$- 1$ को

0

$0$ से गुणा करें.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

चरण 8.4

x

$x$ के लिए

u = - x

$u = - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

u_{upper} = - 1 \cdot 1

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

चरण 8.5

- 1

$- 1$ को

1

$1$ से गुणा करें.

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

चरण 8.6

u_{lower}

$u_{lower}$ और

u_{upper}

$u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

चरण 8.7

u

$u$ ,

d u

$d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

चरण 9

चूँकि

- 1

$- 1$ बटे

u

$u$ अचर है,

- 1

$- 1$ को समाकलन से हटा दें.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

चरण 10

u

$u$ के संबंध में

e^{u}

$e^{u}$ का इंटीग्रल

e^{u}

$e^{u}$ है.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

1

$1$ पर और

0

$0$ पर

(x^{2} + 6) (- e^{- x})

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})$ का मान ज्ञात करें.

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

चरण 11.2

1

$1$ पर और

0

$0$ पर

x (- e^{- x})

$x (- e^{- x})$ का मान ज्ञात करें.

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

चरण 11.3

- 1

$- 1$ पर और

0

$0$ पर

e^{u}

$e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$(1 + 6) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.2

$1$ और

$6$ जोड़ें.

$7 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.3

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$7 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.4

$- 1$ को

$7$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.5

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से

$0$ प्राप्त होता है.

$- 7 e^{- 1} - (0 + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.6

$0$ और

$6$ जोड़ें.

$- 7 e^{- 1} - 1 \cdot 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.7

$- 1$ को

$6$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.8

$- 1$ को

$0$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़

$1$ होती है.

$- 7 e^{- 1} - 6 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.10

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} - 6 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.11

$- 6$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.12

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.13

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.14

$- 1$ को

$0$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.15

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़

$1$ होती है.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.16

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.17

$0$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.18

$- e^{- 1}$ और

$0$ जोड़ें.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

चरण 11.4.19

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़

$1$ होती है.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

चरण 11.4.20

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 7 \frac{1}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

चरण 12.1.2

$- 7$ और

$\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$\frac{- 7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

चरण 12.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

चरण 12.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

चरण 12.1.4.2

ऋणात्मक घातांक नियम

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

चरण 12.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

चरण 12.1.4.4

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

चरण 12.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

चरण 12.1.6

$- 1$ में से

$1$ घटाएं.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

चरण 12.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

चरण 12.1.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

चरण 12.1.9

$2$ को

$1$ से गुणा करें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

चरण 12.1.10

$2 (- \frac{2}{e})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.10.1

$- 1$ को

$2$ से गुणा करें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

चरण 12.1.10.2

$- 2$ और

$\frac{2}{e}$ को मिलाएं.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

चरण 12.1.10.3

$- 2$ को

$2$ से गुणा करें.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 4}{e}$

चरण 12.1.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - \frac{4}{e}$

चरण 12.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$6 + 2 + \frac{- 7 - 4}{e}$

चरण 12.3

$- 7$ में से

$4$ घटाएं.

$6 + 2 + \frac{- 11}{e}$

चरण 12.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$6 + 2 - \frac{11}{e}$

चरण 12.5

$6$ और

$2$ जोड़ें.

$8 - \frac{11}{e}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$8 - \frac{11}{e}$

दशमलव रूप:

$3.95332614 \dots$

चरण 14