कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3} + 1$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{3} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{3} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 0$

चरण 1.1.5

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2

सरल करें.

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चरण 6.2.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} + 1$ से बदलें.

$\frac{2}{9} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$