कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{\cos (x)}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 1.1

$x^{\cos (x)}$ को $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

चरण 1.2

$\cos (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\cos (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x) \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x) \ln (x)$ से बदलें.

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 5

$\cos (x)$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

चरण 7.2

$e^{\cos (x) \ln (x)}$ और $\frac{\cos (x)}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

चरण 7.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$