कैलकुलस उदाहरण

y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

चरण 1

\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ को

${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में

$y$ का व्युत्पन्न

$y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि

$16$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ का व्युत्पन्न

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ है.

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ और

$g (x) = 4 x^{4} + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u$ को

$4 x^{4} + 4$ के रूप में सेट करें.

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$

$n u^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = \frac{1}{4}$ है.

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को

$4 x^{4} + 4$ से बदलें.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए,

$\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.4

$- 1$ और

$\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 1$ को

$4$ से गुणा करें.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.6.2

$1$ में से

$4$ घटाएं.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.8

$\frac{1}{4}$ और

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ को मिलाएं.

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.9

ऋणात्मक घातांक नियम

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

चरण 4.10

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ और

$16$ को मिलाएं.

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 4.11

$16$ में से

$4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 4.12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1

$4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ में से

$4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 4.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 4.12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

चरण 4.13

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$4 x^{4} + 4$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 4.14

चूंकि

$4$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$4 x^{4}$ का व्युत्पन्न

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 4.15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 4$ है.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 4.16

$4$ को

$4$ से गुणा करें.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 4.17

चूंकि

$x$ के संबंध में

$4$ स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$4$ का व्युत्पन्न

$0$ है.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

चरण 4.18

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.1

$16 x^{3}$ और

$0$ जोड़ें.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

चरण 4.18.2

$16$ और

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ को मिलाएं.

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

चरण 4.18.3

$16$ को

$4$ से गुणा करें.

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

चरण 4.18.4

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ और

$x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

चरण 6

$y'$ को

$\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$