कैलकुलस उदाहरण

\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

चरण 1

मान लीजिए

u = 8 x

$u = 8 x$ .फिर

d u = 8 d x

$d u = 8 d x$ , तो

\frac{1}{8} d u = d x

$\frac{1}{8} d u = d x$ .

u

$u$ और

d

$d$

u

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें

u = 8 x

$u = 8 x$ .

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

8 x

$8 x$ को अवकलित करें.

\frac{d}{d x} [8 x]

$\frac{d}{d x} [8 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि

8

$8$ ,

x

$x$ के संबंध में स्थिर है,

x

$x$ के संबंध में

8 x

$8 x$ का व्युत्पन्न

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

8 \cdot 1

$8 \cdot 1$

चरण 1.1.4

8

$8$ को

1

$1$ से गुणा करें.

8

$8$

8

$8$

चरण 1.2

x

$x$ के लिए

u = 8 x

$u = 8 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

u_{lower} = 8 \cdot 0

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

चरण 1.3

8

$8$ को

0

$0$ से गुणा करें.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

x

$x$ के लिए

u = 8 x

$u = 8 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

u_{upper} = 8 \cdot 8

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

चरण 1.5

8

$8$ को

8

$8$ से गुणा करें.

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

चरण 1.6

u_{lower}

$u_{lower}$ और

u_{upper}

$u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

चरण 1.7

u

$u$ ,

d u

$d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

चरण 2

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ और

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

चरण 3

चूँकि

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ बटे

u

$u$ अचर है,

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

चरण 4

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ को

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार,

u

$u$ के संबंध में

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

64

$64$ पर और

0

$0$ पर

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

64

$64$ को

8^{2}

$8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3

2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.4

8

$8$ को

3

$3$ के घात तक बढ़ाएं.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.5

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ और

512

$512$ को मिलाएं.

\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.6

2

$2$ को

512

$512$ से गुणा करें.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.7

0

$0$ को

0^{2}

$0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.8

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

चरण 6.2.9

2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

चरण 6.2.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

चरण 6.2.10

0

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से

0

$0$ प्राप्त होता है.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

चरण 6.2.11

0

$0$ को

- 1

$- 1$ से गुणा करें.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

चरण 6.2.12

0

$0$ को

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

चरण 6.2.13

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ और

0

$0$ जोड़ें.

\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

चरण 6.2.14

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ को

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ से गुणा करें.

\frac{1024}{8 \cdot 3}

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

चरण 6.2.15

8

$8$ को

3

$3$ से गुणा करें.

\frac{1024}{24}

$\frac{1024}{24}$

चरण 6.2.16

1024

$1024$ और

24

$24$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.16.1

1024

$1024$ में से

8

$8$ का गुणनखंड करें.

\frac{8 (128)}{24}

$\frac{8 (128)}{24}$

चरण 6.2.16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.16.2.1

24

$24$ में से

8

$8$ का गुणनखंड करें.

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

चरण 6.2.16.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

चरण 6.2.16.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

दशमलव रूप:

42.\overline{6}

$42.\overline{6}$

मिश्रित संख्या रूप:

42 \frac{2}{3}

$42 \frac{2}{3}$

चरण 8