कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

चरण 1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = 3 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 3 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $3 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $3 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.1.3

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.2

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ को ${(3 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 3.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 3.2.3

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 3.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 3.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

चरण 4

चूँकि $9$ बटे $t$ अचर है, $9$ को समाकलन से हटा दें.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

चरण 5

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

चरण 7

$\frac{1}{2}$ और $9$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

चरण 10

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 10.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.2

$t$ के लिए $u = 2 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

चरण 10.3

$2$ को $- 0.72972765$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 1.45945531$

चरण 10.4

$t$ के लिए $u = 2 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

चरण 10.5

$2$ को $0.3398369$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 0.67967381$

चरण 10.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

चरण 10.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 11

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

चरण 13

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

चरण 14

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$0.3398369$ पर और $- 0.72972765$ पर $t$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

चरण 14.2

$0.67967381$ पर और $- 1.45945531$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

चरण 14.3

$0.3398369$ और $0.72972765$ जोड़ें.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

चरण 15.1.2

$\frac{1}{2}$ और $\sin (0.67967381)$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

चरण 15.1.3

$\frac{1}{2}$ और $\sin (- 1.45945531)$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

चरण 15.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.4.1

$\sin (0.67967381)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

चरण 15.1.4.2

$0.62853936$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

चरण 15.1.4.3

$\sin (- 1.45945531)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

चरण 15.1.4.4

$- 0.99380799$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

चरण 15.1.4.5

$- 1$ को $- 0.49690399$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

चरण 15.1.5

$0.31426968$ और $0.49690399$ जोड़ें.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

चरण 15.2

$1.06956456$ और $0.81117367$ जोड़ें.

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

चरण 15.3

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

$\frac{9}{2}$ और $1.88073824$ को मिलाएं.

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

चरण 15.3.2

$9$ को $1.88073824$ से गुणा करें.

$\frac{16.92664417}{2}$

चरण 15.4

$16.92664417$ को $2$ से विभाजित करें.

$8.46332208$

चरण 16