कैलकुलस उदाहरण

$\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

चरण 1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ को फिर से लिखें.

$\int_{4}^{9} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (y)$ और $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

चरण 3.2

$y^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2}{y}$ को मिलाएं.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

चरण 3.3

$2$ को $y^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

चरण 3.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $y^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

चरण 3.5

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$y$ को $y^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

चरण 3.5.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

चरण 3.5.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

चरण 3.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

चरण 3.5.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - (2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

चरण 5.2

$y^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

चरण 5.3

घातांक को ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

चरण 5.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

चरण 5.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{- \frac{1}{2}} d y$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 y^{\frac{1}{2}}$ है.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$9$ पर और $4$ पर $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

चरण 7.2

$9$ पर और $4$ पर $2 y^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (9) (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{1}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\ln (9) (2 \cdot 3) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\ln (9) \cdot 6 - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.6

$6$ को $\ln (9)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \cdot \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.8

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.10

घातांक का मान ज्ञात करें.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.11

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$6 \ln (9) - \ln (4) \cdot 4 - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.12

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.13

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.14

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.15

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.15.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.15.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.16

घातांक का मान ज्ञात करें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.17

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.18

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.3.19

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

चरण 7.3.20

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.20.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

चरण 7.3.20.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{1})$

चरण 7.3.21

घातांक का मान ज्ञात करें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2)$

चरण 7.3.22

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 4)$

चरण 7.3.23

$6$ में से $4$ घटाएं.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 \cdot 2$

चरण 7.3.24

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 4$

चरण 8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\ln (4)$ को $\ln (2^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 \ln (9) - 4 \ln (2^{2}) - 4$

चरण 8.2

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{2})$ का प्रसार करें.

$6 \ln (9) - 4 (2 \ln (2)) - 4$

चरण 8.3

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

दशमलव रूप:

$3.63817001 \dots$