कैलकुलस उदाहरण

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण में $x$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x$ की सभी घटनाओं को $2 x + y^{2} = 8$ में $y$ से बदलें.

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$2$ को $y$ से गुणा करें.

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

चरण 1.2

$y$ के लिए $2 y + y^{2} = 8$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

मान लीजिए $u = y$ . $y$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

चरण 1.2.2.2

AC विधि का उपयोग करके $2 u + u^{2} - 8$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 8$ है और जिसका योग $2$ है.

$- 2, 4$

$x = y$

चरण 1.2.2.2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

चरण 1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

चरण 1.2.4

$y - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$y - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$y - 2 = 0$

$x = y$

चरण 1.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

चरण 1.2.5

$y + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$y + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$y + 4 = 0$

$x = y$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(y - 2) (y + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

चरण 1.3

प्रत्येक समीकरण में $y$ की सभी घटनाओं को $2$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$y$ की सभी घटनाओं को $x = y$ में $2$ से बदलें.

$x = 2$

$y = 2$

चरण 1.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

चरण 1.4

प्रत्येक समीकरण में $y$ की सभी घटनाओं को $- 4$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$y$ की सभी घटनाओं को $x = y$ में $- 4$ से बदलें.

$x = - 4$

$y = - 4$

चरण 1.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

चरण 1.5

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

चरण 2

$x$ के संदर्भ में $2 x + y^{2} = 8$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2}$ घटाएं.

$2 x = 8 - y^{2}$

चरण 2.2

$2 x = 8 - y^{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 x = 8 - y^{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

चरण 2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

चरण 2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

चरण 2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

$8$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

चरण 2.2.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

चरण 3

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

चरण 4

$- 4$ और $2$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

चरण 4.2

$- 1$ को $y$ से गुणा करें.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

चरण 4.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

चरण 4.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

चरण 4.5

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

चरण 4.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $y$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

चरण 4.7

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

चरण 4.8

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

चरण 4.9

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

चरण 4.10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

चरण 4.10.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.1

$2$ पर और $- 4$ पर $4 y$ का मान ज्ञात करें.

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

चरण 4.10.2.2

$2$ पर और $- 4$ पर $\frac{1}{3} y^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

चरण 4.10.2.3

$2$ पर और $- 4$ पर $\frac{y^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.2

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.3

$8$ और $16$ जोड़ें.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.4

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.5

$\frac{1}{3}$ और $8$ को मिलाएं.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.6

$- 4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.7

$- 64$ को $- 1$ से गुणा करें.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.8

$64$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.10

$8$ और $64$ जोड़ें.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.11

$72$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.11.1

$72$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.11.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.11.2.4

$24$ को $1$ से विभाजित करें.

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.12

$24$ को $- 1$ से गुणा करें.

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.13

$- 24$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.14

$- 24$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.14.1

$- 24$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.14.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.14.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.14.2.4

$- 12$ को $1$ से विभाजित करें.

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.15

$24$ में से $12$ घटाएं.

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.16

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.17

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.17.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.17.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.17.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.17.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.17.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.17.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

चरण 4.10.2.4.18

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

चरण 4.10.2.4.19

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.19.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

चरण 4.10.2.4.19.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.2.4.19.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

चरण 4.10.2.4.19.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

चरण 4.10.2.4.19.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

चरण 4.10.2.4.19.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

चरण 4.10.2.4.20

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$12 - (2 - 8)$

चरण 4.10.2.4.21

$2$ में से $8$ घटाएं.

$12 - - 6$

चरण 4.10.2.4.22

$- 1$ को $- 6$ से गुणा करें.

$12 + 6$

चरण 4.10.2.4.23

$12$ और $6$ जोड़ें.

$18$

चरण 5