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कैलकुलस उदाहरण
∫71ln2(x)x3dx∫71ln2(x)x3dx
चरण 1
चरण 1.1
x3x3 को भाजक में से -1−1 पावर तक बढ़ा कर हटा दें.
∫71ln2(x)(x3)-1dx∫71ln2(x)(x3)−1dx
चरण 1.2
घातांक को (x3)-1(x3)−1 में गुणा करें.
चरण 1.2.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, (am)n=amn(am)n=amn.
∫71ln2(x)x3⋅-1dx∫71ln2(x)x3⋅−1dx
चरण 1.2.2
33 को -1−1 से गुणा करें.
∫71ln2(x)x-3dx∫71ln2(x)x−3dx
∫71ln2(x)x-3dx∫71ln2(x)x−3dx
∫71ln2(x)x-3dx∫71ln2(x)x−3dx
चरण 2
∫udv=uv-∫vdu∫udv=uv−∫vdu, जहां u=ln2(x)u=ln2(x) और dv=x-3dv=x−3 सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.
ln2(x)(-12x2)]71-∫71-12x2⋅ln(x2)xdxln2(x)(−12x2)]71−∫71−12x2⋅ln(x2)xdx
चरण 3
चरण 3.1
ln2(x)ln2(x) और 12x212x2 को मिलाएं.
-ln2(x)2x2]71-∫71-12x2⋅ln(x2)xdx−ln2(x)2x2]71−∫71−12x2⋅ln(x2)xdx
चरण 3.2
ln(x2)xln(x2)x को 12x212x2 से गुणा करें.
-ln2(x)2x2]71-∫71-ln(x2)x(2x2)dx−ln2(x)2x2]71−∫71−ln(x2)x(2x2)dx
चरण 3.3
xx को 11 के घात तक बढ़ाएं.
-ln2(x)2x2]71-∫71-ln(x2)2(x1x2)dx−ln2(x)2x2]71−∫71−ln(x2)2(x1x2)dx
चरण 3.4
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम aman=am+naman=am+n का उपयोग करें.
-ln2(x)2x2]71-∫71-ln(x2)2x1+2dx−ln2(x)2x2]71−∫71−ln(x2)2x1+2dx
चरण 3.5
1 और 2 जोड़ें.
-ln2(x)2x2]71-∫71-ln(x2)2x3dx
-ln2(x)2x2]71-∫71-ln(x2)2x3dx
चरण 4
-ln(x2)2x3 को -2ln(x)2x3 के रूप में फिर से लिखें.
-ln2(x)2x2]71-∫71-2ln(x)2x3dx
चरण 5
चूँकि -1 बटे x अचर है, -1 को समाकलन से हटा दें.
-ln2(x)2x2]71--∫712ln(x)2x3dx
चरण 6
चरण 6.1
सरल करें.
चरण 6.1.1
2 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 6.1.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
-ln2(x)2x2]71--∫712ln(x)2x3dx
चरण 6.1.1.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
-ln2(x)2x2]71--∫71ln(x)x3dx
-ln2(x)2x2]71--∫71ln(x)x3dx
चरण 6.1.2
-1 को -1 से गुणा करें.
-ln2(x)2x2]71+1∫71ln(x)x3dx
चरण 6.1.3
∫71ln(x)x3dx को 1 से गुणा करें.
-ln2(x)2x2]71+∫71ln(x)x3dx
-ln2(x)2x2]71+∫71ln(x)x3dx
चरण 6.2
घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.
चरण 6.2.1
x3 को भाजक में से -1 पावर तक बढ़ा कर हटा दें.
-ln2(x)2x2]71+∫71ln(x)(x3)-1dx
चरण 6.2.2
घातांक को (x3)-1 में गुणा करें.
चरण 6.2.2.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, (am)n=amn.
-ln2(x)2x2]71+∫71ln(x)x3⋅-1dx
चरण 6.2.2.2
3 को -1 से गुणा करें.
-ln2(x)2x2]71+∫71ln(x)x-3dx
-ln2(x)2x2]71+∫71ln(x)x-3dx
-ln2(x)2x2]71+∫71ln(x)x-3dx
-ln2(x)2x2]71+∫71ln(x)x-3dx
चरण 7
∫udv=uv-∫vdu, जहां u=ln(x) और dv=x-3 सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.
-ln2(x)2x2]71+ln(x)(-12x2)]71-∫71-12x2⋅1xdx
चरण 8
चरण 8.1
ln(x) और 12x2 को मिलाएं.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71-∫71-12x2⋅1xdx
चरण 8.2
1x को 12x2 से गुणा करें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71-∫71-1x(2x2)dx
चरण 8.3
x को 1 के घात तक बढ़ाएं.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71-∫71-12(x1x2)dx
चरण 8.4
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम aman=am+n का उपयोग करें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71-∫71-12x1+2dx
चरण 8.5
1 और 2 जोड़ें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71-∫71-12x3dx
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71-∫71-12x3dx
चरण 9
चूँकि -1 बटे x अचर है, -1 को समाकलन से हटा दें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71--∫7112x3dx
चरण 10
चरण 10.1
-1 को -1 से गुणा करें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+1∫7112x3dx
चरण 10.2
∫7112x3dx को 1 से गुणा करें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+∫7112x3dx
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+∫7112x3dx
चरण 11
चूँकि 12 बटे x अचर है, 12 को समाकलन से हटा दें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+12∫711x3dx
चरण 12
चरण 12.1
x3 को भाजक में से -1 पावर तक बढ़ा कर हटा दें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+12∫71(x3)-1dx
चरण 12.2
घातांक को (x3)-1 में गुणा करें.
चरण 12.2.1
घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, (am)n=amn.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+12∫71x3⋅-1dx
चरण 12.2.2
3 को -1 से गुणा करें.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+12∫71x-3dx
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+12∫71x-3dx
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+12∫71x-3dx
चरण 13
घात नियम के अनुसार, x के संबंध में x-3 का समाकलन -12x-2 है.
-ln2(x)2x2]71+-ln(x)2x2]71+12-12x-2]71
चरण 14
चरण 14.1
-ln2(x)2x2]71 और -ln(x)2x2]71 को मिलाएं.
-ln2(x)2x2-ln(x)2x2]71+12-12x-2]71
चरण 14.2
प्रतिस्थापित करें और सरल करें.
चरण 14.2.1
7 पर और 1 पर -ln2(x)2x2-ln(x)2x2 का मान ज्ञात करें.
(-ln2(7)2⋅72-ln(7)2⋅72)-(-ln2(1)2⋅12-ln(1)2⋅12)+12-12x-2]71
चरण 14.2.2
7 पर और 1 पर -12x-2 का मान ज्ञात करें.
(-ln2(7)2⋅72-ln(7)2⋅72)-(-ln2(1)2⋅12-ln(1)2⋅12)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3
सरल करें.
चरण 14.2.3.1
7 को 2 के घात तक बढ़ाएं.
-ln2(7)2⋅49-ln(7)2⋅72-(-ln2(1)2⋅12-ln(1)2⋅12)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.2
2 को 49 से गुणा करें.
-ln2(7)98-ln(7)2⋅72-(-ln2(1)2⋅12-ln(1)2⋅12)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.3
7 को 2 के घात तक बढ़ाएं.
-ln2(7)98-ln(7)2⋅49-(-ln2(1)2⋅12-ln(1)2⋅12)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.4
2 को 49 से गुणा करें.
-ln2(7)98-ln(7)98-(-ln2(1)2⋅12-ln(1)2⋅12)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.5
एक का कोई भी घात एक होता है.
-ln2(7)98-ln(7)98-(-ln2(1)2⋅1-ln(1)2⋅12)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.6
2 को 1 से गुणा करें.
-ln2(7)98-ln(7)98-(-ln2(1)2-ln(1)2⋅12)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.7
एक का कोई भी घात एक होता है.
-ln2(7)98-ln(7)98-(-ln2(1)2-ln(1)2⋅1)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.8
2 को 1 से गुणा करें.
-ln2(7)98-ln(7)98-(-ln2(1)2-ln(1)2)+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.9
-(-ln2(1)2-ln(1)2) को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, 9898 से गुणा करें.
-ln2(7)98-(-ln2(1)2-ln(1)2)⋅9898-ln(7)98+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.10
-(-ln2(1)2-ln(1)2) और 9898 को मिलाएं.
-ln2(7)98+-(-ln2(1)2-ln(1)2)⋅9898-ln(7)98+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.11
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
-ln2(7)-(-ln2(1)2-ln(1)2)⋅9898-ln(7)98+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.12
98 को -1 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12((-12⋅7-2)+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.13
ऋणात्मक घातांक नियम b-n=1bn का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-12⋅172+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.14
7 को 2 के घात तक बढ़ाएं.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-12⋅149+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.15
149 को 12 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-149⋅2+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.16
49 को 2 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-198+12⋅1-2)
चरण 14.2.3.17
एक का कोई भी घात एक होता है.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-198+12⋅1)
चरण 14.2.3.18
12 को 1 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-198+12)
चरण 14.2.3.19
12 को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, 4949 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-198+12⋅4949)
चरण 14.2.3.20
प्रत्येक व्यंजक को 98 के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को 1 के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.
चरण 14.2.3.20.1
12 को 4949 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-198+492⋅49)
चरण 14.2.3.20.2
2 को 49 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-198+4998)
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12(-198+4998)
चरण 14.2.3.21
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12⋅-1+4998
चरण 14.2.3.22
-1 और 49 जोड़ें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12⋅4898
चरण 14.2.3.23
48 और 98 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 14.2.3.23.1
48 में से 2 का गुणनखंड करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12⋅2(24)98
चरण 14.2.3.23.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 14.2.3.23.2.1
98 में से 2 का गुणनखंड करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12⋅2⋅242⋅49
चरण 14.2.3.23.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12⋅2⋅242⋅49
चरण 14.2.3.23.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12⋅2449
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12⋅2449
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+12⋅2449
चरण 14.2.3.24
12 को 2449 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+242⋅49
चरण 14.2.3.25
2 को 49 से गुणा करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+2498
चरण 14.2.3.26
24 और 98 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 14.2.3.26.1
24 में से 2 का गुणनखंड करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+2(12)98
चरण 14.2.3.26.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 14.2.3.26.2.1
98 में से 2 का गुणनखंड करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+2⋅122⋅49
चरण 14.2.3.26.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+2⋅122⋅49
चरण 14.2.3.26.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+1249
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+1249
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+1249
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+1249
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+1249
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)98-ln(7)98+1249
चरण 15
चरण 15.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
-ln2(7)-98(-ln2(1)2-ln(1)2)-ln(7)98+1249
चरण 15.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 15.2.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
-ln2(7)-98-ln2(1)-ln(1)2-ln(7)98+1249
चरण 15.2.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 15.2.2.1
1 का प्राकृतिक लघुगणक 0 है.
-ln2(7)-98-02-ln(1)2-ln(7)98+1249
चरण 15.2.2.2
0 को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से 0 प्राप्त होता है.
-ln2(7)-98-0-ln(1)2-ln(7)98+1249
चरण 15.2.2.3
-1 को 0 से गुणा करें.
-ln2(7)-980-ln(1)2-ln(7)98+1249
चरण 15.2.2.4
1 का प्राकृतिक लघुगणक 0 है.
-ln2(7)-980-02-ln(7)98+1249
चरण 15.2.2.5
-1 को 0 से गुणा करें.
-ln2(7)-980+02-ln(7)98+1249
-ln2(7)-980+02-ln(7)98+1249
चरण 15.2.3
0 और 0 जोड़ें.
-ln2(7)-98(02)-ln(7)98+1249
चरण 15.2.4
2 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 15.2.4.1
-98 में से 2 का गुणनखंड करें.
-ln2(7)+2(-49)02-ln(7)98+1249
चरण 15.2.4.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
-ln2(7)+2⋅-4902-ln(7)98+1249
चरण 15.2.4.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
-ln2(7)-49⋅0-ln(7)98+1249
-ln2(7)-49⋅0-ln(7)98+1249
चरण 15.2.5
-49 को 0 से गुणा करें.
-ln2(7)+0-ln(7)98+1249
-ln2(7)+0-ln(7)98+1249
चरण 15.3
-ln2(7) और 0 जोड़ें.
-ln2(7)-ln(7)98+1249
चरण 15.4
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 15.4.1
-ln2(7)-ln(7) में से -1 का गुणनखंड करें.
-(ln2(7)+ln(7))98+1249
चरण 15.4.2
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
-ln2(7)+ln(7)98+1249
-ln2(7)+ln(7)98+1249
चरण 15.5
1249 को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, 22 से गुणा करें.
-ln2(7)+ln(7)98+1249⋅22
चरण 15.6
प्रत्येक व्यंजक को 98 के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को 1 के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.
चरण 15.6.1
1249 को 22 से गुणा करें.
-ln2(7)+ln(7)98+12⋅249⋅2
चरण 15.6.2
49 को 2 से गुणा करें.
-ln2(7)+ln(7)98+12⋅298
-ln2(7)+ln(7)98+12⋅298
चरण 15.7
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
-(ln2(7)+ln(7))+12⋅298
चरण 15.8
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 15.8.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
-ln2(7)-ln(7)+12⋅298
चरण 15.8.2
12 को 2 से गुणा करें.
-ln2(7)-ln(7)+2498
-ln2(7)-ln(7)+2498
-ln2(7)-ln(7)+2498
चरण 16
परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.
सटीक रूप:
-ln2(7)-ln(7)+2498
दशमलव रूप:
0.18640330…