कैलकुलस उदाहरण

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

x

$x$ के लिए

0

$0$ को प्रतिस्थापित करके

x

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

\sin (0)

$\sin (0)$ का सटीक मान

0

$0$ है.

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

x

$x$ के लिए

0

$0$ को प्रतिस्थापित करके

x

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

व्यंजक में

0

$0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

चूंकि

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

x

$x$ के संबंध में

\sin (x)

$\sin (x)$ का व्युत्पन्न

\cos (x)

$\cos (x)$ है.

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

\cos (x)

$\cos (x)$ को

1

$1$ से विभाजित करें.

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

x

$x$ के लिए

0

$0$ को प्रतिस्थापित करके

x

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

\cos (0)

$\cos (0)$ का सटीक मान

1

$1$ है.

1

$1$