कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - \frac{5}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

चरण 1.1.1.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

चरण 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{5}{x}$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 1.1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 1.1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$2 - 5 (- x^{- 2})$

चरण 1.1.1.3.4

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$2 + 5 x^{- 2}$

चरण 1.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.1.1.4.2

$5$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

चरण 1.1.1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{5}{x^{2}} + 2$ है.

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

चरण 1.2.3

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$x^{2}, 1$

चरण 1.2.3.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$x^{2}$

चरण 1.2.4

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

चरण 1.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

चरण 1.2.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 = - 2 x^{2}$

चरण 1.2.5

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

समीकरण को $- 2 x^{2} = 5$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 x^{2} = 5$

चरण 1.2.5.2

$- 2 x^{2} = 5$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

$- 2 x^{2} = 5$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

चरण 1.2.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

चरण 1.2.5.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

चरण 1.2.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

चरण 1.2.5.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

चरण 1.2.5.4

$\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.1

$- 1$ को $i^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

चरण 1.2.5.4.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

चरण 1.2.5.4.3

$\sqrt{\frac{5}{2}}$ को $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

चरण 1.2.5.4.4

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

चरण 1.2.5.4.5

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.5.1

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 1.2.5.4.5.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 1.2.5.4.5.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 1.2.5.4.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 1.2.5.4.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 1.2.5.4.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.5.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 1.2.5.4.5.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.2.5.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.2.5.4.5.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.5.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.2.5.4.5.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 1.2.5.4.5.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

चरण 1.2.5.4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.6.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

चरण 1.2.5.4.6.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

चरण 1.2.5.4.7

$i$ और $\frac{\sqrt{10}}{2}$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

चरण 1.2.5.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

चरण 1.2.5.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

चरण 1.2.5.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{5}{x^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} = 0$

चरण 1.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 1.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 1.3.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 1.3.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $2 x - \frac{5}{x}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 (0) - \frac{5}{0}$

चरण 1.4.1.2

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 1.5

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = 5$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$5$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 (5) - \frac{5}{5}$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$10 - \frac{5}{5}$

चरण 2.1.2.1.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$10 - \frac{5}{5}$

चरण 2.1.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$10 - 1 \cdot 1$

चरण 2.1.2.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$10 - 1$

चरण 2.1.2.2

$10$ में से $1$ घटाएं.

$9$

चरण 2.2

$x = 7$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$7$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 (7) - \frac{5}{7}$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$14 - \frac{5}{7}$

चरण 2.2.2.2

$14$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

चरण 2.2.2.3

$14$ और $\frac{7}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

चरण 2.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

चरण 2.2.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.5.1

$14$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{98 - 5}{7}$

चरण 2.2.2.5.2

$98$ में से $5$ घटाएं.

$\frac{93}{7}$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(7, \frac{93}{7})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(5, 9)$

चरण 4