कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x^{2} + 3$ है.

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4.2

$x^{2} + 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.8.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.1.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3.2

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.5.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ है और जिसका योग $b = - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.5.1.1

$- 2 x$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.1.2

$- 2$ को $1$ जोड़ $- 3$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.5.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.5.3

महत्तम समापवर्तक, $- x + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.6

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.7

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.8

$- (x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.9

$- (x - 1)$ को $- 1 (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ है.

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 1.2.3.2

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 1.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 1.2.3.3

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 1.2.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 1.2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 1) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, - 3$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

चरण 1.4.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2}{1 + 3}$

चरण 1.4.1.2.2.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{2}{4}$

चरण 1.4.1.2.3

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{4}$

चरण 1.4.1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.3.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

चरण 1.4.1.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

चरण 1.4.1.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2}$

चरण 1.4.2

$x = - 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- 3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$- 3$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

चरण 1.4.2.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.2.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 2}{9 + 3}$

चरण 1.4.2.2.2.2

$9$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{- 2}{12}$

चरण 1.4.2.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.3.1

$- 2$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.3.1.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 1)}{12}$

चरण 1.4.2.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.3.1.2.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

चरण 1.4.2.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

चरण 1.4.2.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{6}$

चरण 1.4.2.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{6}$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

चरण 2

उन बिंदुओं को हटा दें जो अंतराल पर नहीं हैं.

$(1, \frac{1}{2})$

चरण 3

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

चरण 3.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

चरण 3.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{0}{1 + 3}$

चरण 3.1.2.2.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{0}{4}$

चरण 3.1.2.3

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 3.2

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

चरण 3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

चरण 3.2.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3}{4 + 3}$

चरण 3.2.2.2.2

$4$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{3}{7}$

चरण 3.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

चरण 4

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(1, \frac{1}{2})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(- 1, 0)$

चरण 5