कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $- 1$ , $1.5$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2}{x^{4} - 16}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

चरण 1.1.1.1.2

$\frac{1}{x^{4} - 16}$ को ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

चरण 1.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{4} - 16$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{4} - 16$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

चरण 1.1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{4} - 16$ से बदलें.

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

चरण 1.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

चरण 1.1.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ है.

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

चरण 1.1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

चरण 1.1.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

चरण 1.1.1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.5.1

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

चरण 1.1.1.3.5.2

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

चरण 1.1.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

चरण 1.1.1.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.1

$- 8$ और $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

चरण 1.1.1.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

चरण 1.1.1.5.3

$x^{3}$ और $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.1.5.4

$8$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ है.

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$8 x^{3} = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$8 x^{3} = 0$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$8 x^{3} = 0$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

चरण 1.2.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

चरण 1.2.3.1.2.1.2

$x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} = \frac{0}{8}$

चरण 1.2.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.3.1

$0$ को $8$ से विभाजित करें.

$x^{3} = 0$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 1.2.3.3

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 1.2.3.3.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.1.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x^{2}$ और $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.4.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.1.4.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.4.2.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.1.4.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.1.5

उत्पाद नियम को $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ पर लागू करें.

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.1.6

उत्पाद नियम को $(x^{2} + 4) (x + 2)$ पर लागू करें.

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.3

${(x^{2} + 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1

${(x^{2} + 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.3.2

$x$ के लिए ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.2.1

$x^{2} + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 4 = 0$

चरण 1.3.2.3.2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x^{2} = - 4$

चरण 1.3.2.3.2.2.2

$x = \pm \sqrt{- 4}$

चरण 1.3.2.3.2.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.2.2.3.1

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

चरण 1.3.2.3.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

चरण 1.3.2.3.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

चरण 1.3.2.3.2.2.3.4

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

चरण 1.3.2.3.2.2.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 2$

चरण 1.3.2.3.2.2.3.6

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 2 i$

चरण 1.3.2.3.2.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.2.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2 i$

चरण 1.3.2.3.2.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2 i$

चरण 1.3.2.3.2.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2 i, - 2 i$

चरण 1.3.2.4

${(x + 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.4.1

${(x + 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 2)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.4.2

$x$ के लिए ${(x + 2)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.4.2.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 1.3.2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 1.3.2.5

${(x - 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.5.1

${(x - 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2.5.2

$x$ के लिए ${(x - 2)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.5.2.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 1.3.2.5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 1.3.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

चरण 1.3.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x = - 2, x = 2$

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{2}{x^{4} - 16}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{2}{0 - 16}$

चरण 1.4.1.2.1.2

$0$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{2}{- 16}$

चरण 1.4.1.2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$2$ और $- 16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{- 16}$

चरण 1.4.1.2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1.2.1

$- 16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

चरण 1.4.1.2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

चरण 1.4.1.2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{- 8}$

चरण 1.4.1.2.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{8}$

चरण 1.4.2

$x = - 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- 2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$- 2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{16 - 16}$

चरण 1.4.2.2.2

$16$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{2}{0}$

चरण 1.4.2.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 1.4.3

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

चरण 1.4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{16 - 16}$

चरण 1.4.3.2.2

$16$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{2}{0}$

चरण 1.4.3.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 1.4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, - \frac{1}{8})$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2}{{(- 1)}^{4} - 16}$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{1 - 16}$

चरण 2.1.2.1.2

$1$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{2}{- 15}$

चरण 2.1.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{15}$

चरण 2.2

$x = 1.5$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$1.5$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2}{{(1.5)}^{4} - 16}$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$1.5$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{5.0625 - 16}$

चरण 2.2.2.1.2

$5.0625$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{2}{- 10.9375}$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $- 10.9375$ से विभाजित करें.

$- 0.18285714$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 1, - \frac{2}{15}), (1.5, - 0.18285714)$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(0, - \frac{1}{8})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(1.5, - 0.18285714)$

चरण 4