कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{a}$ और $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ है.

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{b}$ और $g (x) = 1 - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - x$ के रूप में सेट करें.

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = b$ है.

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x$ से बदलें.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3.6.2

$- 1$ को $b {(1 - x)}^{b - 1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3.6.3

$- 1 b$ को $- b$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

चरण 1.1.1.3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = a$ है.

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

चरण 1.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

चरण 1.1.1.4.2

गुणनखंडों को $- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ है.

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$1$ में से $0$ घटाएं.

$0^{a} \cdot 1^{b}$

चरण 2.1.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$0^{a} \cdot 1$

चरण 2.1.2.3

$0^{a}$ को $1$ से गुणा करें.

$0^{a}$

चरण 2.2

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 {(1 - (1))}^{b}$

चरण 2.2.2.2

${(1 - (1))}^{b}$ को $1$ से गुणा करें.

${(1 - (1))}^{b}$

चरण 2.2.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

${(1 - 1)}^{b}$

चरण 2.2.2.4

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0^{b}$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

कोई निरपेक्ष अधिकतम नहीं

कोई निरपेक्ष न्यूनतम नहीं

चरण 4