कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $4 \sqrt{t} - t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ है.

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.2

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ है.

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.9

$\frac{1}{2}$ और $t^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.10

$4$ और $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $t^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.12

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.13

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.13.1

$2 t^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.2.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 1.1.1.3

$\frac{d}{d t} [- t]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

चरण 1.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

चरण 1.1.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

चरण 1.1.2

$f (t)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $t$ , $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ है.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

चरण 1.2.3

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

चरण 1.2.3.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$t^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.2.4

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ के प्रत्येक पद को $t^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ के प्रत्येक पद को $t^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$t^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.2.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.2.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1

$t^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.2.5

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

समीकरण को $t^{\frac{1}{2}} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

चरण 1.2.5.2

बाईं ओर के भिन्नात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को $2$ की घात तक बढ़ाएँ.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

चरण 1.2.5.3

घातांक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.3.1.1

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.3.1.1.1

घातांक को ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.3.1.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

चरण 1.2.5.3.1.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.3.1.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

चरण 1.2.5.3.1.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$t^{1} = 2^{2}$

चरण 1.2.5.3.1.1.2

सरल करें.

$t = 2^{2}$

चरण 1.2.5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.3.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$t = 4$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

चरण 1.3.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

चरण 1.3.2

$\frac{2}{\sqrt{t}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{t} = 0$

चरण 1.3.3

$t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

चरण 1.3.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 1.3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1.1

घातांक को ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 1.3.3.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 1.3.3.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$t^{1} = 0^{2}$

चरण 1.3.3.2.2.1.2

सरल करें.

$t = 0^{2}$

चरण 1.3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$t = 0$

चरण 1.3.4

रेडिकैंड को $\sqrt{t}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$t < 0$

चरण 1.3.5

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 1.4

प्रत्येक $t$ मान पर $4 \sqrt{t} - t$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$t = 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$4$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 \sqrt{4} - (4)$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$4 \sqrt{4} - (4)$

चरण 1.4.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

चरण 1.4.1.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$4 \cdot 2 - (4)$

चरण 1.4.1.2.2.3

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$8 - (4)$

चरण 1.4.1.2.2.4

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$8 - 4$

चरण 1.4.1.2.3

$8$ में से $4$ घटाएं.

$4$

चरण 1.4.2

$t = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$0$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 \sqrt{0} - (0)$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$4 \sqrt{0} - (0)$

चरण 1.4.2.2.2

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

चरण 1.4.2.2.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$4 \cdot 0 - (0)$

चरण 1.4.2.2.4

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 - (0)$

चरण 1.4.2.2.5

$0$ में से $0$ घटाएं.

$0$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(4, 4), (0, 0)$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$t = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$0$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 \sqrt{0} - (0)$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$4 \sqrt{0} - (0)$

चरण 2.1.2.2

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

चरण 2.1.2.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$4 \cdot 0 - (0)$

चरण 2.1.2.4

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 - (0)$

चरण 2.1.2.5

$0$ में से $0$ घटाएं.

$0$

चरण 2.2

$t = 16$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$16$ को $t$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 \sqrt{16} - (16)$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$4 \sqrt{16} - (16)$

चरण 2.2.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

चरण 2.2.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$4 \cdot 4 - (16)$

चरण 2.2.2.2.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$16 - (16)$

चरण 2.2.2.2.4

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$16 - 16$

चरण 2.2.2.3

$16$ में से $16$ घटाएं.

$0$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0), (16, 0)$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $t$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (t)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (t)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (t)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(4, 4)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(0, 0), (16, 0)$

चरण 4