कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , $[- \frac{1}{2}, 4]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} - 6 x + 0$

चरण 1.1.1.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $3 x^{2} - 6 x$ है.

$3 x^{2} - 6 x$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 x^{2} - 6 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x^{2} - 6 x = 0$

चरण 1.2.2

$3 x^{2} - 6 x$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$3 x^{2}$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$3 x (x) - 6 x = 0$

चरण 1.2.2.2

$- 6 x$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

चरण 1.2.2.3

$3 x (x) + 3 x (- 2)$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$3 x (x - 2) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

चरण 1.2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 1.2.5

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 x (x - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 2$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

चरण 1.4.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 - 3 \cdot 0 + 1$

चरण 1.4.1.2.1.3

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 + 1$

चरण 1.4.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 1$

चरण 1.4.1.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.4.2

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

चरण 1.4.2.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 - 3 \cdot 4 + 1$

चरण 1.4.2.2.1.3

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$8 - 12 + 1$

चरण 1.4.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.2.1

$8$ में से $12$ घटाएं.

$- 4 + 1$

चरण 1.4.2.2.2.2

$- 4$ और $1$ जोड़ें.

$- 3$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 1), (2, - 3)$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - \frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- \frac{1}{2}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{2}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

चरण 2.1.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

चरण 2.1.2.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

चरण 2.1.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

चरण 2.1.2.1.4

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{8} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

चरण 2.1.2.1.5

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.5.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1$

चरण 2.1.2.1.5.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

चरण 2.1.2.1.6

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{8} - 3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

चरण 2.1.2.1.7

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

चरण 2.1.2.1.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 1$

चरण 2.1.2.1.9

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 1$

चरण 2.1.2.1.10

$- 3$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 1$

चरण 2.1.2.1.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1$

चरण 2.1.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$\frac{3}{4}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

चरण 2.1.2.2.2

$\frac{3}{4}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

चरण 2.1.2.2.3

$1$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

चरण 2.1.2.2.4

$\frac{1}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

चरण 2.1.2.2.5

$\frac{1}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

चरण 2.1.2.2.6

$4 \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

चरण 2.1.2.2.7

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

चरण 2.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 - 3 \cdot 2 + 8}{8}$

चरण 2.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 - 6 + 8}{8}$

चरण 2.1.2.4.2

$- 1$ में से $6$ घटाएं.

$\frac{- 7 + 8}{8}$

चरण 2.1.2.4.3

$- 7$ और $8$ जोड़ें.

$\frac{1}{8}$

चरण 2.2

$x = 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} + 1$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 3 {(4)}^{2} + 1$

चरण 2.2.2.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 3 \cdot 16 + 1$

चरण 2.2.2.1.3

$- 3$ को $16$ से गुणा करें.

$64 - 48 + 1$

चरण 2.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$64$ में से $48$ घटाएं.

$16 + 1$

चरण 2.2.2.2.2

$16$ और $1$ जोड़ें.

$17$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{8}), (4, 17)$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(4, 17)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(2, - 3)$

चरण 4