कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ

$f (x) = \ln (x)$ और

$g (x) = x$ है.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में

$\ln (x)$ का व्युत्पन्न

$\frac{1}{x}$ है.

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$x$ और

$\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 1.3.4

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ

$f (x) = 1 - \ln (x)$ और

$g (x) = x^{2}$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक को

${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.2.1.2

$2$ को

$2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.2.2

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$1 - \ln (x)$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.2.3

चूंकि

$x$ के संबंध में

$1$ स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$1$ का व्युत्पन्न

$0$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.2.4

$0$ और

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.2.5

चूंकि

$- 1$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$- \ln (x)$ का व्युत्पन्न

$- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में

$\ln (x)$ का व्युत्पन्न

$\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2}$ और

$\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2

$x^{2}$ और

$x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x^{2}$ में से

$x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$x$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2.2

$x^{1}$ में से

$x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2.2.5

$x$ को

$1$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 2$ है.

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

चरण 2.4.4

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

$2$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

चरण 2.4.4.2

$- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ में से

$x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.2.1

$- x$ में से

$x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

चरण 2.4.4.2.2

$- 2 (1 - \ln (x)) x$ में से

$x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

चरण 2.4.4.2.3

$x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ में से

$x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

चरण 2.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x^{4}$ में से

$x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

चरण 2.6.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.1

$- 2$ को

$1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

चरण 2.6.2.1.2

$- 2 (- \ln (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.2.1

$- 1$ को

$- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

चरण 2.6.2.1.2.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर

$2 \ln (x)$ को सरल करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 2.6.2.2

$- 1$ में से

$2$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 2.6.3

$- 3$ को

$- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 2.6.4

$\ln (x^{2})$ में से

$- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

चरण 2.6.5

$- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ में से

$- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

चरण 2.6.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को

$0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ

$f (x) = \ln (x)$ और

$g (x) = x$ है.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में

$\ln (x)$ का व्युत्पन्न

$\frac{1}{x}$ है.

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$x$ और

$\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.4

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे

$x$ ,

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ है.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को

$0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को

$0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 - \ln (x) = 0$

चरण 5.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से

$1$ घटाएं.

$- \ln (x) = - 1$

चरण 5.3.2

$- \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को

$- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को

$- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ को

$1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

$- 1$ को

$- 1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = 1$

चरण 5.3.3

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

चरण 5.3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए

$\ln (x) = 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर

$x$ और

$b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और

$b \neq 1$ , तो

$\log_{b} (x) = y$

$b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{1} = x$

चरण 5.3.5

समीकरण को

$x = e^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ में भाजक को

$0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ को

$0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 6.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 6.2.2.3

जोड़ या घटाव

$0$ ,

$0$ है.

$x = 0$

चरण 6.3

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को

$\ln (x)$ से कम या उसके बराबर

$0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 6.4

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक

$0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क

$0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क

$0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = e$

चरण 8

$x = e$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

चरण 9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$2$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

चरण 9.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक

$1$ है.

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

चरण 9.3

$2$ को

$1$ से गुणा करें.

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

चरण 9.4

$- 1$ को

$2$ से गुणा करें.

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

चरण 9.5

$3$ में से

$2$ घटाएं.

$- \frac{1}{e^{3}}$

चरण 10

$x = e$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = e$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11

$x = e$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर

$x$ को

$e$ से बदलें.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक

$1$ है.

$f (e) = \frac{1}{e}$

चरण 11.2.2

अंतिम उत्तर

$\frac{1}{e}$ है.

$y = \frac{1}{e}$

चरण 12

ये

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(e, \frac{1}{e})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 13