कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ on $[0, π]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 1.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 1.1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 1.1.1.3

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 1.1.1.4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

चरण 1.1.1.5

$- 1$ को $10$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x)$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 10 \cos (x) \sin (x)$ है.

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

चरण 1.2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

चरण 1.2.3

$\cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) = 0$

चरण 1.2.3.2

$x$ के लिए $\cos (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (0)$

चरण 1.2.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 1.2.3.2.3

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.3.2.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.4.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.3.2.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 1.2.3.2.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.4.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 1.2.3.2.4.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 1.2.3.2.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 1.2.3.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 1.2.3.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 1.2.3.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 1.2.3.2.6

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.4

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 1.2.4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 1.2.4.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 1.2.4.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 1.2.4.2.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 1.2.4.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 1.2.4.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 1.2.4.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 1.2.4.2.6

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.6

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $5 \cos^{2} (x)$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$5 \cos^{2} (0)$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$5 \cdot 1^{2}$

चरण 1.4.1.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$5 \cdot 1$

चरण 1.4.1.2.3

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5$

चरण 1.4.2

$x = \frac{π}{2}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$\frac{π}{2}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$5 \cdot 0^{2}$

चरण 1.4.2.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$5 \cdot 0$

चरण 1.4.2.2.3

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0 + π n, 5), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2

उन बिंदुओं को हटा दें जो अंतराल पर नहीं हैं.

$(\frac{π}{2}, 0)$

चरण 3

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से बिंदु अधिकतम या न्यूनतम हो सकते हैं, पहले व्युत्पन्न परीक्षण का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

चरण 3.2

पहले व्युत्पन्न $- 10 \cos (x) \sin (x)$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = - 10 \cos (- 2) \sin (- 2)$

चरण 3.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$\cos (- 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = - 10 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

चरण 3.2.2.2

$- 10$ को $- 0.41614683$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 4.16146836 \sin (- 2)$

चरण 3.2.2.3

$\sin (- 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = 4.16146836 \cdot - 0.90929742$

चरण 3.2.2.4

$4.16146836$ को $- 0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = - 3.78401247$

चरण 3.2.2.5

अंतिम उत्तर $- 3.78401247$ है.

$- 3.78401247$

चरण 3.3

पहले व्युत्पन्न $- 10 \cos (x) \sin (x)$ में अंतराल $(0, \frac{π}{2})$ से कोई भी संख्या, जैसे $1$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = - 10 \cos (1) \sin (1)$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$\cos (1)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (1) = - 10 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

चरण 3.3.2.2

$- 10$ को $0.5403023$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 5.40302305 \sin (1)$

चरण 3.3.2.3

$\sin (1)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (1) = - 5.40302305 \cdot 0.84147098$

चरण 3.3.2.4

$- 5.40302305$ को $0.84147098$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 4.54648713$

चरण 3.3.2.5

अंतिम उत्तर $- 4.54648713$ है.

$- 4.54648713$

चरण 3.4

पहले व्युत्पन्न $- 10 \cos (x) \sin (x)$ में अंतराल $(\frac{π}{2}, π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = - 10 \cos (2) \sin (2)$

चरण 3.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$\cos (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 10 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

चरण 3.4.2.2

$- 10$ को $- 0.41614683$ से गुणा करें.

$f' (2) = 4.16146836 \sin (2)$

चरण 3.4.2.3

$\sin (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = 4.16146836 \cdot 0.90929742$

चरण 3.4.2.4

$4.16146836$ को $0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (2) = 3.78401247$

चरण 3.4.2.5

अंतिम उत्तर $3.78401247$ है.

$3.78401247$

चरण 3.5

पहले व्युत्पन्न $- 10 \cos (x) \sin (x)$ में अंतराल $(π, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $6$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f' (6) = - 10 \cos (6) \sin (6)$

चरण 3.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$\cos (6)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (6) = - 10 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

चरण 3.5.2.2

$- 10$ को $0.96017028$ से गुणा करें.

$f' (6) = - 9.60170286 \sin (6)$

चरण 3.5.2.3

$\sin (6)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (6) = - 9.60170286 \cdot - 0.27941549$

चरण 3.5.2.4

$- 9.60170286$ को $- 0.27941549$ से गुणा करें.

$f' (6) = 2.68286459$

चरण 3.5.2.5

अंतिम उत्तर $2.68286459$ है.

$2.68286459$

चरण 3.6

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = 0$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 3.7

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = \frac{π}{2}$ के लगभग बदल दिया, तो $x = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 3.8

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = π$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 3.9

ये $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$x = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 4

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

कोई निरपेक्ष अधिकतम नहीं

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(\frac{π}{2}, 0)$

चरण 5