कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = 4 x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 6$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3} e^{- x}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

चरण 1.1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = e^{- x}$ है.

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$4 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.4.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 1.1.1.4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

चरण 1.1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

चरण 1.1.1.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

चरण 1.1.1.5.2.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

चरण 1.1.1.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 4 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

चरण 1.1.1.5.4

गुणनखंडों को $- 4 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

चरण 1.1.2

$g (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$ है.

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x} = 0$

चरण 1.2.2

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$ में से $4 x^{2} e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$- 4 x^{3} e^{- x}$ में से $4 x^{2} e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 12 x^{2} e^{- x} = 0$

चरण 1.2.2.2

$12 x^{2} e^{- x}$ में से $4 x^{2} e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 4 x^{2} e^{- x} (3) = 0$

चरण 1.2.2.3

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 4 x^{2} e^{- x} (3)$ में से $4 x^{2} e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

चरण 1.2.4

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 1.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 1.2.4.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 1.2.4.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 1.2.5

$e^{- x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$e^{- x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- x} = 0$

चरण 1.2.5.2

$x$ के लिए $e^{- x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

चरण 1.2.5.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 1.2.5.2.3

$e^{- x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 1.2.6

$- x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$- x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- x + 3 = 0$

चरण 1.2.6.2

$x$ के लिए $- x + 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$- x = - 3$

चरण 1.2.6.2.2

$- x = - 3$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.1

$- x = - 3$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 3}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.3.1

$- 3$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 3$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 3$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $4 x^{3} e^{- x}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 {(0)}^{3} e^{- (0)}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$4 \cdot 0 e^{- (0)}$

चरण 1.4.1.2.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 e^{- (0)}$

चरण 1.4.1.2.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0 e^{0}$

चरण 1.4.1.2.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$0 \cdot 1$

चरण 1.4.1.2.5

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$0$

चरण 1.4.2

$x = 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 {(3)}^{3} e^{- (3)}$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot 27 e^{- (3)}$

चरण 1.4.2.2.2

$4$ को $27$ से गुणा करें.

$108 e^{- (3)}$

चरण 1.4.2.2.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$108 e^{- 3}$

चरण 1.4.2.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$108 \frac{1}{e^{3}}$

चरण 1.4.2.2.5

$108$ और $\frac{1}{e^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{108}{e^{3}}$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0, 0), (3, \frac{108}{e^{3}})$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot - 1 e^{- (- 1)}$

चरण 2.1.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 e^{- (- 1)}$

चरण 2.1.2.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 e^{1}$

चरण 2.1.2.4

सरल करें.

$- 4 e$

चरण 2.2

$x = 6$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$6$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot 216 e^{- (6)}$

चरण 2.2.2.2

$4$ को $216$ से गुणा करें.

$864 e^{- (6)}$

चरण 2.2.2.3

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$864 e^{- 6}$

चरण 2.2.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$864 \frac{1}{e^{6}}$

चरण 2.2.2.5

$864$ और $\frac{1}{e^{6}}$ को मिलाएं.

$\frac{864}{e^{6}}$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 1, - 4 e), (6, \frac{864}{e^{6}})$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $g (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $g (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $g (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(3, \frac{108}{e^{3}})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(- 1, - 4 e)$

चरण 4