कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x - 3$ और $g (x) = 4 + x$ है.

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4.2

$4 + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.7

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.8

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1

$4 + x - x - - 3$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.1.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.2

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2.3

$4$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ है.

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$7 = 0$

चरण 1.2.3

$7 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x + 4)}^{2} = 0$

चरण 1.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 1.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{x - 3}{4 + x}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = - 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$- 4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

चरण 1.4.1.2.2

$4$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

चरण 1.4.1.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 1.5

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 4$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 4$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

चरण 2.1.2.2

$4$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

चरण 2.1.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.2

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

चरण 2.2.2.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{- 2}{4 + 1}$

चरण 2.2.2.3

$4$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 2}{5}$

चरण 2.2.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{5}$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(1, - \frac{2}{5})$

चरण 3

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 4

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(1, - \frac{2}{5})$

कोई निरपेक्ष न्यूनतम नहीं

चरण 5