कैलकुलस उदाहरण

$3 y^{2} - \sqrt{x} = 23$ , $(16, 3)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 16$ और $y = 3$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 23$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (23)$

चरण 1.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.2.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.3

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$6 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 1.3.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 1.3.3.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.3.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.3.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 1.3.3.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 1.3.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$6 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$6 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.3.3.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $23$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $23$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$6 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 1.6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ जोड़ें.

$6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.6.2

$6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ के प्रत्येक पद को $6 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

$6 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ के प्रत्येक पद को $6 y$ से विभाजित करें.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

चरण 1.6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

चरण 1.6.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

चरण 1.6.2.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

चरण 1.6.2.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y}$

चरण 1.6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y}$

चरण 1.6.2.3.2

जोड़ना.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y)}$

चरण 1.6.2.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.3.3.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 y}$

चरण 1.6.2.3.3.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$y' = \frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$

चरण 1.6.2.3.3.3

गुणनखंडों को $\frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} y}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8

$x = 16$ और $y = 3$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

व्यंजक में चर $x$ को $16$ से बदलें.

$\frac{1}{12 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.2

व्यंजक में चर $y$ को $3$ से बदलें.

$\frac{1}{12 (3) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.3

$12$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{36 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.4.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{36 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.8.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.8.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.8.4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{36 \cdot 4^{1}}$

चरण 1.8.4.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

चरण 1.8.5

$36$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{144}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{144}$ और दिए गए बिंदु $(16, 3)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (3) = \frac{1}{144} \cdot (x - (16))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{144} \cdot (x - 16)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 3 = \frac{1}{144} \cdot (x - 16)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 3 = \frac{1}{144} x + \frac{1}{144} \cdot - 16$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{144}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{144} \cdot - 16$

चरण 2.3.1.5

$16$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$144$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 (9)} \cdot - 16$

चरण 2.3.1.5.2

$- 16$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{16 \cdot 9} \cdot (16 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{1}{9} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.6

$\frac{1}{9}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y - 3 = \frac{x}{144} + \frac{- 1}{9}$

चरण 2.3.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - 3 = \frac{x}{144} - \frac{1}{9}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3$

चरण 2.3.2.2

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

चरण 2.3.2.3

$3$ और $\frac{9}{9}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{144} - \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}$

चरण 2.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{144} + \frac{- 1 + 27}{9}$

चरण 2.3.2.5.2

$- 1$ और $27$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{144} + \frac{26}{9}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{144} x + \frac{26}{9}$

चरण 3