कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = \frac{1}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

चरण 1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ है.

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3.2

$1 + 11 x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 11 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ है.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ जोड़ें.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3.6

चूंकि $11$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $11 x^{2}$ का व्युत्पन्न $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3.7

$11$ को $- 1$ से गुणा करें.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.3.9

$2$ को $- 11$ से गुणा करें.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.8

$11 x^{2}$ में से $22 x^{2}$ घटाएं.

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.9

$6$ और $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.2.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.10.2.2

$- 11$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

चरण 1.10.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.11

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.1.2

$- 66$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.1.3

$- 66$ और $6$ जोड़ें.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.2.2

$11$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.2.3

$11$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 60}{12^{2}}$

चरण 1.12.2.4

$12$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 60}{144}$

चरण 1.12.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.3.1

$- 60$ और $144$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.3.1.1

$- 60$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$\frac{12 (- 5)}{144}$

चरण 1.12.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.3.1.2.1

$144$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

चरण 1.12.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

चरण 1.12.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 5}{12}$

चरण 1.12.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{5}{12}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{5}{12}$ और दिए गए बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.4

$x$ और $\frac{5}{12}$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.5

$- \frac{5}{12} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

चरण 2.3.1.5.2

$\frac{5}{12}$ को $1$ से गुणा करें.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

चरण 2.3.1.6

$5$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{2}$ जोड़ें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

चरण 2.3.2.2

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

चरण 2.3.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $12$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

चरण 2.3.2.3.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

चरण 2.3.2.5

$5$ और $6$ जोड़ें.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

चरण 2.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

चरण 3