कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

चरण 1

$x = 2$ के संगत $y$ -मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$2$ को $x$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

चरण 1.2

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

चरण 1.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

चरण 1.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

चरण 1.2.3.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$y = \frac{1}{3^{3}}$

चरण 1.2.3.3

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{27}$

चरण 2

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 2$ और $y = \frac{1}{27}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ को ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

चरण 2.1.2

घातांक को ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

चरण 2.1.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 1$ से बदलें.

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

चरण 2.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

चरण 2.3.4.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

चरण 2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

चरण 2.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$- 6$ और $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

चरण 2.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

चरण 2.5.3

$x$ और $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

चरण 2.5.4

$6$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

चरण 2.6

$x = 2$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

चरण 2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

चरण 2.7.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

चरण 2.7.2.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{12}{3^{4}}$

चरण 2.7.2.3

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{12}{81}$

चरण 2.7.3

$12$ और $81$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.3.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 (4)}{81}$

चरण 2.7.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.3.2.1

$81$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

चरण 2.7.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

चरण 2.7.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{4}{27}$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $- \frac{4}{27}$ और दिए गए बिंदु $(2, \frac{1}{27})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

चरण 3.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

चरण 3.3.1.4

$x$ और $\frac{4}{27}$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

चरण 3.3.1.5

$- \frac{4}{27} \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

चरण 3.3.1.5.2

$2$ और $\frac{4}{27}$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

चरण 3.3.1.5.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

चरण 3.3.1.6

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

चरण 3.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{27}$ जोड़ें.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

चरण 3.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

चरण 3.3.2.3

$8$ और $1$ जोड़ें.

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

चरण 3.3.2.4

भिन्न $\frac{- 4 x + 9}{27}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

चरण 3.3.2.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.5.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

चरण 3.3.2.5.2

$9$ और $27$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.5.2.1

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

चरण 3.3.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.5.2.2.1

$27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

चरण 3.3.2.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

चरण 3.3.2.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

चरण 3.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

चरण 3.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

चरण 4