कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, 4)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = 4$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{8 x}{x^{2} + 1}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

चरण 1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

$8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2

$x^{2} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.8

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.9

$8$ और $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.2.1

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.10.2.2

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.11

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{- 8 {(1)}^{2} + 8}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{- 8 \cdot 1 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.1.2

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 8 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.1.3

$- 8$ और $8$ जोड़ें.

$\frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

चरण 1.12.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{0}{2^{2}}$

चरण 1.12.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{0}{4}$

चरण 1.12.3

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $0$ और दिए गए बिंदु $(1, 4)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (4) = 0 \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 4 = 0 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ को $x - 1$ से गुणा करें.

$y - 4 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$y = 4$

चरण 3