कैलकुलस उदाहरण

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 9$ और $y = 3$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 1.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 y^{3} y'$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 x = 4 y^{3} y'$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

समीकरण को $4 y^{3} y' = 2 x$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 y^{3} y' = 2 x$

चरण 1.5.2

$4 y^{3} y' = 2 x$ के प्रत्येक पद को $4 y^{3}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$4 y^{3} y' = 2 x$ के प्रत्येक पद को $4 y^{3}$ से विभाजित करें.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

चरण 1.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

चरण 1.5.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

चरण 1.5.2.2.2

$y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

चरण 1.5.2.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

चरण 1.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.3.1

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.3.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

चरण 1.5.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.3.1.2.1

$4 y^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

चरण 1.5.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

चरण 1.5.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

चरण 1.7

$x = 9$ और $y = 3$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $9$ से बदलें.

$\frac{9}{2 y^{3}}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $3$ से बदलें.

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

चरण 1.7.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

चरण 1.7.3.2

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$\frac{9}{54}$

चरण 1.7.4

$9$ और $54$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9 (1)}{54}$

चरण 1.7.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.2.1

$54$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

चरण 1.7.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

चरण 1.7.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{6}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{6}$ और दिए गए बिंदु $(9, 3)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{6}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

चरण 2.3.1.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

चरण 2.3.1.5.2

$- 9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

चरण 2.3.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

चरण 2.3.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

चरण 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ और $- 3$ को मिलाएं.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

चरण 2.3.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

चरण 2.3.2.2

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

चरण 2.3.2.3

$3$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

चरण 2.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

चरण 2.3.2.5.2

$- 3$ और $6$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

चरण 3